Zusammenfassung
Wir haben bisher die Vektoren und Tensoren im allgemeinen als konstante Größen behandelt. Vektoren und Tensoren können aber auch Funktionen irgendwelcher Parameter (unabhängige Variable) sein. Diese Parameter können Tensoren beliebiger Stufe und insbesondere auch Skalare sein.
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Literatur
Ableitungsgleichungen sind in der Differentialgeometrie stets Formeln für die Ableitungen der Vektoren eines Dreibeins. Für den Fall einer Fläche vgl. (22, 13) und § 37, insbesondere (37, 21).
Der Name ist historisch bedingt; es handelt sich dabei selbstverständlich nicht um Koordinaten.
Näheres über Berührung höherer Ordnung zwischen zwei Kurven oder zwischen Kurven und Flächen findet der Leser in den meisten Lehrbüchern der Differentialrechnung und der Differentialgeometrie, z.B.: Duschek-Mayer, Lehrbuch der Differentialgeometrie, Bd. I, S. 52ff. (Leipzig, 1930).
Da es sich im folgenden nur um den Vergleich der Normalkrümmungen eines Flächenpunktes handelt, ist die oben getroffene Verfügung über das Vorzeichen der Krümmungen der ebenen Schnitte durchaus willkürlich, wir hätten ebensogut die entgegengesetzte Verfügung treffen können. Das wird besonders deutlich, wenn man sich an die ebenfalls ganz willkürliche Orientierung der Flächennormalen erinnert.
Legt man durch einen Punkt P einer Regelfläche und durch eine nicht durch P gehende Erzeugende g‣ eine Ebene, so nähert sich diese Ebene, wenn g‣ an P heranrückt, einer Grenzlage, die von der besonderen Wahl des Punktes P auf der durch P gehenden Erzeugenden unabhängig oder abhängig ist, je nachdem es sich um eine Torse oder um eine windschiefe Regelfläche handelt. Man pflegt dies gewöhnlich so auszudrücken: „Benachbarte” Erzeugende einer Torse schneiden sich (weil sie in einer Ebene liegen), „benachbarte” Erzeugende einer windschiefen Regelfläche sind windschief. Wir erwähnen dies nur zur Erklärung der Bezeichnung „windschiefe Regelfläche”.
Bisher war die Bezeichnung „Gradient” nur für den Sonderfall des Gradiententensors erster Stufe eines Skalarfeldes üblich, doch steht einer solchen Erweiterung des Begriffes „Gradient” nichts im Wege.
Ein ebener Bereich heißt n-fach zusammenhängend, wenn seine Berandung aus n getrennten, sich nicht durchsetzenden Kurven besteht. Einzelne Punkte und Kurvenstücke, die im Inneren des Bereiches liegen, aber dem Bereich nicht angehören, sind dabei mitzuzählen.
Unter einem Wirbelfaden versteht man einen langgestreckten röhrenförmigen Bereich kleinen Querschnittes, innerhalb dessen der Rotor des
Feldvektors von Null verschieden ist und die gleiche Richtung wie die Achse des Wirbelf adens aufweist. Siehe auch § 29.
Sollte das nicht der Fall sein, so setzen wir wenigstens voraus, daß sich die Fläche in eine endliche Zahl von Flächenstücken zerlegen läßt, deren jedes die angegebenen Bedingungen erfüllt.
Wir verwenden diese in den Anwendungen sehr gebräuchliche Bezeichnung nicht ohne ein starkes inneres Widerstreben, denn eine Hüllfläche ist sonst immer die Einhüllende einer Flächenschar.
Die Darstellung des Potentials durch eine Potenzreihe ist möglich, wenn das Potential eine analytische Funktion der Koordinaten des betrachteten Punktes ist. Bei den in den Anwendungen auftretenden Potentialen ist dies im Bereich der Gültigkeit von ΔU = o immer der Fall.
Unter Raumwinkel versteht man den Inhalt eines Bereiches auf der Einheitskugel (Kugel mit dem Radius 1).
Hier ist es wohl zulässig, D i als Zusammenfassung dreier skalarer Potentiale aufzufassen, da der zugehörige Feldvektor verschwindet und der Nullvektor invariant ist. Der Beweis läßt sich aber auch so führen, daß man mit Benützung des oben gegebenen Satzes davon ausgeht, daß sowohl die Laplacesche Differentialgleichung als auch die Randbedingungen des Differenzpotentials bei dem entsprechenden Beweis in § 26 homogene Gleichungen sind und daher die dort für den Skalar D gezogenen Folgerungen nunmehr für den Vektor D i gelten.
Nur in ganz allgemeinen Räumen, in denen keine Maßbestimmung durch einen Maßtensor gegeben ist, sind kovariante und kontravariante Vektoren wirklich zwei völlig verschiedene Dinge.
Der Prozeß der Überschiebung ist zunächst nur rein formal als Multiplikation und darauffolgende Summation über die gleichen Indizes aufzufassen.
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Duschek, A., Hochrainer, A. (1950). Tensoranalysis. In: Grundzüge der Tensorrechnung in Analytischer Darstellung. Springer, Vienna. https://doi.org/10.1007/978-3-7091-2070-5_1
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-7091-2070-5_1
Publisher Name: Springer, Vienna
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