Die Fundamentalsätze der Algebra der Vektoren in allgemeiner Fassung

Zusammenfassung

Wir haben nunmehr fast alle Vorbereitungen beisammen, die nötig sind, um die in § 2 behandelte Aufgabe durch ein umfassenderes Problem zu ersetzen, in dem an Stelle der quadratischen Form

$$ X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2 $$

irgend eine nicht singuläre quadratische Form (L X)² tritt. Ganz beliebig aber wollen wir diese quadratische Form zunächst doch noch nicht sein lassen. Es haftet nämlich unseren letzten Ergebnissen ein gewisser Mangel an Symmetrie an, der daher rührt, daß wir von den zwei im Grunde gleichberechtigten quadratischen Formen (L X)², (U Λ)² die eine ausgezeichnet hatten. Dies veranlaßt uns, die zuletzt ausgeführte Untersuchung aus einem etwas abgeänderten Gesichtspunkte nochmals aufzunehmen und zugleich ihr Ergebnis noch etwas zu ergänzen. Wir erhalten nämlich eine vollkommen symmetrische Fassung unseres letzten Lehrsatzes, wenn wir jetzt die weitere Annahme hinzufügen, daß die Diskriminante der quadratischen Form (LX)² und folglich auch die der reziproken Form (U Λ)² den numerischen Wert Eins hat. In diesem Falle bedeutet natürlich die Zulassung dieser Invariante in den Nennern rationaler Funktionen keine Erweiterung des vorgelegten Integritätsbereiches.