Grenzwertsätze und Normalverteilung

Zusammenfassung

Häufig ist eine Zufallsvariable X die Summe vieler einzelner Zufallsvariabler. Sind z.B. in einem Gebiet, das von einem Elektrizitätswerk mit Strom versorgt wird, 2.700.000 Stromverbraucher vorhanden, so läßt sich der Stromverbrauch eines bestimmten Kunden durch eine Zufallsvariable beschreiben. Werden die Kunden durchnumeriert, so erhält man 2.700.000 Zufallsvariable X_i, i = 1, 2,...,2.700.000. Für das Elektrizitätswerk ist jedoch nicht der Einzelverbrauch des i-ten Kunden interessant, sondern der Gesamtverbrauch, also die Summe aus allen einzelnen Zufallsvariablen X_i:

$$\S = \sum\limits_{{i = 1}}^{{2.700.000}} {{X_{i}}}.$$

Erster Schritt: Zunächst wird eine Folge X₁, X₂,... (stochastisch) unabhängiger Zufallsvariabler betrachtet, die alle dieselbe Verteilungsfunktion besitzen. Dabei stellt sich heraus, daß die Folge der Verteilungsfunktionen der standardisierten Partial-summen gegen eine Funktion F₀ konvergiert.

Zweiter Schritt: Der zentrale Grenzwertsatz besagt, daß unter sehr allgemeinen Bedingungen, die Folge der Verteilungsfunktionen standardisierter Partialsummen von (stochastisch) unabhängigen Zufallsvariablen gegen die Verteilungsfunktion F₀ einer N(0,1)-verteilten Zufallsvariablen konvergieren.

Dritter Schritt: Es wird die allgemeine Normalverteilung eingeführt. Nach dem zentralen Grenzwertsatz sind oft Summen (stochastisch) unabhängiger Zufallsvariabler asymptotisch normalverteilt.

Vierter Schritt: In den schwachen Gesetzen der großen Zahlen werden Zusammenhänge zwischen der Wahrscheinlichkeit und der relativen Häufigkeit, dem Erwartungswert einer Zufallsvariablen und dem Mittelwert einer Zufallsstichprobe abgeleitet. Dabei zeigt es sich, daß die Interpretationsregel II aus der Interpretationsregel I abgeleitet werden kann.