Die Lösung partieller Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Während gewöhnliche Differentialgleichungen eine einzige unabhängige Veränderliche enthalten, sind in partiellen Differentialgleichungen mehrere, mindestens zwei, unabhängige Veränderliche vorhanden. Partielle Differentialgleichungen kommen deshalb bei all den physikalischen Problemen vor, bei denen die betrachtete physikalische Größe nicht nur von der Zeit, sondern auch noch von dem jeweiligen Ort abhängt. Bei derartigen Aufgaben, wie Wärmeleitung, Potentialbetrachtungen elektromagnetischer Felder, Schwingungsproblemen von Saite, Balken oder Membrane, treten z.B. neben der Zeitgröße t die Raumkoordinaten x, y, z (in kartesischen Koordinaten) oder r, φ, θ (in Kugelkoordinaten) als unabhängige Veränderliche auf. Somit muß im allgemeinen bei diesen Problemen mit 4 unabhängigen Veränderlichen gerechnet werden; es sei denn, daß gewisse zulässige Vereinfachungen eine Reduzierung der Anzahl der unabhängigen Veränderlichen gestatten. Eine partielle Differentialgleichung kann Ableitungen nach allen vorhandenen unabhängigen Veränderlichen enthalten. Soll die gesuchte Lösungsfunktion U eine Funktion von x, y, z und t sein, so versteht man unter der partiellen Ableitung von U nach irgend einer der vier Größen den Grenzwert des entsprechenden Differenzenquotienten