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Algebraische Gleichungen mit Reellen oder Komplexen Koeffizienten

  • Wilhelm Specht

Zusammenfassung

Die im 19. Jahrhundert sich anbahnende und im 20. Jahrhundert sich mehr und mehr vollendende gestaltliche Umwandlung der Algebra zu einer allgemeinen Theorie der Strukturen hat in der sog. Theorie der algebraischen Gleichungen zu einer Aufspaltung in zwei Teilgebiete geführt, die nicht nur in ihrer Methode, sondern auch dem Inhalte nach sich wesentlich unterscheiden. Das erste Teilgebiet, dessen Entwicklung durch das berühmte wissenschaftliche Testament von E. Galois 1), den grundlegenden „Traité des substitutions“ von C. Jordan 2), die „Algebraische Theorie der Körper“ von E. Steinitz 3), das Werk „Moderne Algebra“ von B. L. van der Waerden 4) und das Buch „L’algèbre“ im Gesamtwerk von N. Bourbaki 5) gekennzeichnet wird, kann als die Galoissche Theorie der algebraischen Gleichungen bezeichnet werden. Das zweite Teilgebiet, das seine Existenzberechtigung und Eigenständigkeit nicht nur aus der traditionellen Bindung an die ursprüngliche Aufgabe der Algebra, nämlich der Auflösung numerisch gegebener algebraischer Gleichungen oder Gleichungssysteme, sondern auch aus den zahlreichen Anfragen herleitet, die etwa die Analysis oder die sog. Angewandte Mathematik stellen, trägt den Namen einer Analytischen Theorie der Polynome, da es unter modernem Aspekt weniger der Algebra als der komplexen Funktionentheorie einzuordnen ist.

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  158. 127).
    H. Bilharz, Zeitschr. angew. Math. Mech. 24, 77–82 (1944).MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  159. 128).
    Vgl. 126).Google Scholar
  160. 129).
    Für diesen Satz liegen zahlreiche Beweise vor: E. Bompiani, Giornale di Mat. 49, 33–39 (1911);Google Scholar
  161. 129a).
    L. Orlando, Math. Ann. 71, 233–245 (1912);MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  162. 129b).
    A. Liénard et M. H. Chipart, Journal Math. pur. appl. (6) 10, 291–346 (1914);Google Scholar
  163. 129c).
    M. Fujiwara, Tôhoku Math. Journal 8, 78–85 (1915);zbMATHGoogle Scholar
  164. 129d).
    M. Fujiwara, Jap. Journal Math. 2, 9–12 (1925);zbMATHGoogle Scholar
  165. 129e).
    T. Vahlen, Zeitschr. angew. Math. Mech. 14, 65–70 (1934);Google Scholar
  166. 129f).
    N. Obreschkoff, Math. Zeitschr. 45, 747–750 (1939);MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  167. 129g).
    Y. I. Neimark, Doklady Akad. Nauk USSR, n. Ser. 58, 357–360 (1947).MathSciNetGoogle Scholar
  168. 130).
    S. Sherman, Philos. Mag. (7) 37, 537–551 (1946).MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  169. 131).
    Proceedings London Math. Soc. (2) 33, 102–114 (1932).Google Scholar
  170. 132).
    Sitzber. Akad. Berlin 1933, 403–428.Google Scholar
  171. 133).
    Sitzber. Akad. Berlin 1934, 86–98.Google Scholar
  172. 134).
    Ann. of Math. (II) 51, 105–119 (1950). Vgl. auch Proceedings Akad. Wet. Amsterdam 51, 1146–1154 (1948).Google Scholar
  173. 135).
    W. Specht, Math. Nachr. 4, 126–149 (1950).MathSciNetGoogle Scholar
  174. 136).
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  175. 137).
    M. Kac, Proceedings London Math. Soc. (II) 50, 390–408 (1948);zbMATHGoogle Scholar
  176. 137a).
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  177. 138).
    F. Lucas, Journal Ec. polytechn. (1) 46, 1–33 (1879);Google Scholar
  178. 138a).
    F. Lucas, Bull. Soc. Math. France 17, 2–69 (1888).Google Scholar
  179. 139).
    Vgl. G. v. Sz. Nagy, Jahresber. DMV. 27, 37–43 (1918);zbMATHGoogle Scholar
  180. 139a).
    Vgl. G. v. Sz. Nagy, Mat. teremészett. Ertes. 59, 79–94 (1940).Google Scholar
  181. 140).
    Proceedings Akad. Wet. Amsterdam 50, 458–464 (1947).Google Scholar
  182. 141).
    Vgl. M. Marden, The geometry of the zeros, Chap. I.Google Scholar
  183. 142).
    G. v. Sz. Nagy, Acta Szeged 13, 169–178 (1950).zbMATHGoogle Scholar
  184. 143).
    J. Siebeck, Journal reine angew. Math. 64, 175–182 (1864);Google Scholar
  185. 143a).
    F. J. van den Berg, Nieuw Arch. Wiskunde 9, 1–14, 60 (1882);Google Scholar
  186. 143b).
    F. J. van den Berg, Nieuw Arch. Wiskunde 11, 153–186 (1884);Google Scholar
  187. 143c).
    F. J. van den Berg, Nieuw Arch. Wiskunde 15, 100–164, 190 (1888).Google Scholar
  188. 143d).
    Vgl. auch M. Marden, Bull. Amer. Math. Soc. 51, 935–940 (1945).MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  189. 143e).
    Verallgemeinerungen: M. Fujiwara, Tôhoku Math. Journal 9, 102–108 (1916);zbMATHGoogle Scholar
  190. 143f).
    B. Z. Linfield, Transactions Amer. Math. Soc. 25, 239–258 (1923).MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  191. 144).
    Bull. Acad. Polonaise, série A 1927, 541–685.Google Scholar
  192. 145).
    Ann. Ec. norm. sup. (3) 54, 101–150 (1937).Google Scholar
  193. 146).
    G. v. Sz. Nagy, Ann. Soe. Polonaise Math. 23, 224–229 (1950).zbMATHGoogle Scholar
  194. 147).
    M. Marden, Transactions Amer. Math. Soc. 66, 407–418 (1949).MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  195. 148).
    G. v. Sz. Nagy, Acta Szeged 1, 127–138 (1923);zbMATHGoogle Scholar
  196. 148a).
    M. Marden, Transactions Amer. Math. Soc. 32, 658–668 (1930).MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  197. 149).
    M. Marden, Bull. Amer. Math. Soc. 38, 434–441 (1932);MathSciNetGoogle Scholar
  198. 149a).
    M. Marden, Bull. Amer. Math. Soc. 39, 750–754 (1933).MathSciNetGoogle Scholar
  199. 150).
    Vgl. ferner M. Fekete, Jahresber. DMV. 31, 42–48 (1922);zbMATHGoogle Scholar
  200. 150a).
    M. Fekete, Jahresber. DMV. 32, 299–306 (1924);zbMATHGoogle Scholar
  201. 150b).
    M. Fekete, Jahresber. DMV. 34, 220–233 (1926);zbMATHGoogle Scholar
  202. 150c).
    M. Fekete, Acta Szeged 1, 98–100 (1923);zbMATHGoogle Scholar
  203. 150d).
    M. Fekete, Math. Zeitschr. 22, 1–7 (1928).MathSciNetGoogle Scholar
  204. 150e).
    G. v. Sz. Nagy, Jahresber. DMV. 32, 307–309 (1924).zbMATHGoogle Scholar
  205. 151).
    Arch. Math. Phys. 25, 96 (1917) (Aufgabe); M. Fekete, Jahresber. DMV. 31, 42–48 (1922).zbMATHGoogle Scholar
  206. 152).
    N. Obreschkoff, Comptes Rendus Acad. Bulgare 1, 5–8 (1948).Google Scholar
  207. 152a).
    Vgl. auch M. Marden, Duke Math. Journal 16, 91–97 (1949).MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  208. 153).
    M. Marden, Duke Math. Journal 16, 91–97 (1949).MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  209. 154).
    N. Obreschkoff, Tôhoku Math. Journal 38, 93–100 (1933);Google Scholar
  210. 154a).
    G. v. Sz. Nagy, Tôhoku Math. Journal 41, 415–423 (1936);Google Scholar
  211. 154b).
    L. Kuipers, Proceedings Akad. Wet. Amsterdam 53, 482–486 (1950);MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  212. 154c).
    L. Kuipers, Simon Stevin 28, 193–198 (1954);MathSciNetGoogle Scholar
  213. 154d).
    L. Kuipers, Simon Stevin 31, 61–72 (1957).MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  214. 155).
    L. Weisner, Tôhoku Math. Journal 44, 175–177 (1937).Google Scholar
  215. 156).
    J. L. W. Jensen, Acta Math. 36, 181–185 (1913);MathSciNetGoogle Scholar
  216. 156a).
    J. L. Walsh, Ann. of Math. 22, 128–144 (1920);MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  217. 156c).
    G. v. Sz. Nagy, Jahresber. DMV. 31, 238–251 (1922).Google Scholar
  218. 156d).
    Weitere Verallgemeinerung: J. L. Walsh, Amer. Math. Monthly 62, 91–93 (1955).MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  219. 157).
    Ann. of Math. 22, 128–144 (1920).Google Scholar
  220. 158).
    J. L. W. Jensen, Acta Math. 36, 181–185 (1913);MathSciNetGoogle Scholar
  221. 158a).
    G. v. Sz. Nagy, Jahresber. DMV. 31, 238–251 (1922).Google Scholar
  222. 159).
    Nouv. Ann. Math. (2) 17, 20–26; 97–101 (1878).Google Scholar
  223. 160).
    G. Pólya und G. Szegö, Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, Bd. II, Kap. V, 2. Berlin 1925.Google Scholar
  224. 161).
    M. Harden, The geometry of the zeros, Chap. III, § 13.Google Scholar
  225. 162).
    G. v. Sz. Nagy, Journal reine angew. Math. 169, 186–192 (1933).zbMATHGoogle Scholar
  226. 163).
    Mém. Soc. Roy. Sci. Liège (IV) 1, 85–181 (1936).Google Scholar
  227. 164).
    N. Obreschkoff, Arch. Math. 5, 506–509 (1954).MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  228. 164a).
    Vgl. auch L. Tschakaloff, Comptes Rendus Acad. Paris 202, 1635–1637 (1936).Google Scholar
  229. 165).
    G. v. Sz. Nagy, Acta Szeged 8, 42–52 (1936).Google Scholar
  230. 166).
    Vgl. etwa: G. v. Sz. Nagy, Jahresber. DMV. 27, 37–43; 44–48 (1918);zbMATHGoogle Scholar
  231. 166a).
    G. v. Sz. Nagy, Mat. természett. Ertes. 59, 79–94 (1940);Google Scholar
  232. 166b).
    G. v. Sz. Nagy, Acta Math. Sci. Hungar. 1, 225–228 (1950).zbMATHGoogle Scholar
  233. 166c).
    T. Popoviciu, Ann. Sci. Univ. Jassy 30, 191–218 (1948).MathSciNetGoogle Scholar
  234. 167).
    J. H. Grace, Proceedings Cambridge Phil. Soc. 11, 352–367 (1902);zbMATHGoogle Scholar
  235. 167a).
    P. J. Heawood, Quart. Journal Math. 38, 84–107 (1907).Google Scholar
  236. 168).
    Math. Zeitschr. 22, 1–7 (1925).Google Scholar
  237. 169).
    M. Marden, Transactions Amer. Math. Soc. 45, 355–368 (1939).MathSciNetGoogle Scholar
  238. 169a).
    Vgl. auch J. W. Alexander, Ann. of Math. 17, 12–22 (1915);MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  239. 169b).
    S. Kakeya, Tôhoku math. Journal 11, 5–16 (1917);zbMATHGoogle Scholar
  240. 169c).
    G. Szegö, Math. Zeitschr. 13, 28–55 (1922).zbMATHGoogle Scholar
  241. 170).
    Transactions Amer. Math. Soc. 45, 355–368 (1939).Google Scholar
  242. 171).
    Tôhoku Math. Journal 11, 5–16 (1917).Google Scholar
  243. 172).
    Bull. Soc. Math. France (2) 69, 197–203 (1945).Google Scholar
  244. 173).
    Bull. Acad. Polonaise, Série A 1927, 541–685.Google Scholar
  245. 174).
    Comptes Rendus Acad. Paris 172, 662–664 (1921).Google Scholar
  246. 175).
    Weitere Einzelheiten: J. L. Walsh, Transactions Amer. Math. Soc. 22, 101–116 (1921);zbMATHGoogle Scholar
  247. 175a).
    Weitere Einzelheiten: J. L. Walsh, Transactions Amer. Math. Soc. 24, 163–180 (1922).Google Scholar
  248. 175b).
    Weitere Einzelheiten: J. L. Walsh, Bull. Amer. Math. Soc. 54, 942–945 (1948).MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  249. 176).
    Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, Bd. II. Berlin 1925.Google Scholar
  250. 177).
    J. L. Walsh, Transactions Amer. Math. Soc. 22, 101–116 (1921);zbMATHGoogle Scholar
  251. 177a).
    vgl. auch M. Bôcher, Proceedings Acad. Sci. USA 40, 469–484 (1904).Google Scholar
  252. 178).
    Transactions Amer. Math. Soc. 32, 81–109 (1930); Bull. Amer. Math. Soc. 42, 400–405 (1936).Google Scholar
  253. 179).
    Vgl. J. L. Walsh, Transactions Amer. Math. Soc. 19, 291–298 (1918);zbMATHGoogle Scholar
  254. 179a).
    J. L. Walsh, Transactions Amer. Math. Soc. 22, 101–116 (1921);zbMATHGoogle Scholar
  255. 179b).
    J. L. Walsh, Transactions Amer. Math. Soc. 24, 31–69 (1922);Google Scholar
  256. 179c).
    J. L. Walsh, Tôhoku Math. Journal 23, 312–317 (1924);zbMATHGoogle Scholar
  257. 179d).
    J. L. Walsh, Bull. Amer. Math. Soc. 30, 51–62 (1924).MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  258. 180).
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  259. 180a).
    J. Dieudonné, Ann. Ec. norm. sup. (3) 54, 101–150 (1937).Google Scholar
  260. 181).
    J. H. Grace, Proceedings Cambridge Phil. Soc. 11, 352–357 (1902);zbMATHGoogle Scholar
  261. 181a).
    vgl. G. Szegö, Math. Zeitschr. 13, 28–55 (1922).zbMATHGoogle Scholar
  262. 182).
    Vgl. A. Cohn, Math. Zeitschr. 14, 110–148 (1922).zbMATHGoogle Scholar
  263. 182a).
    Andere Beweise: S. Kakeya, Proceedings Phys. Math. Soc. Japan (3) 3, 94–100 (1921);Google Scholar
  264. 182b).
    J. Egerváry, Acta Szeged 1, 38–45 (1922);Google Scholar
  265. 182c).
    J. L. Walsh, Transactions Amer. Math. Soc. 24, 163–180 (1922).Google Scholar
  266. 183).
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  267. 184).
    Vgl. A. Cohn, Math. Zeitschr. 14, 110–148 (1922).zbMATHGoogle Scholar
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  271. 188).
    N. Obreschkoff, Doklady Akad. Nauk USSR, n. Ser. 85, 489–492 (1952).Google Scholar
  272. 189).
    Math. Zeitschr. 13, 28–55 (1922).Google Scholar
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    Vgl. J. Egerváry, Acta Szeged 1, 38–45 (1922).Google Scholar
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  277. 194).
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  278. 195).
    Bull. Amer. Math. Soc. 49, 93–100 (1943).Google Scholar
  279. 196).
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    J. L. Walsh, Transactions Amer. Math. Soc. 24, 163–180 (1922).Google Scholar
  281. 198).
    J.L. Walsh, Amer. Math. Monthly 29, 112–114 (1922);MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  282. 198a).
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Copyright information

© Springer Fachmedien Wiesbaden 1958

Authors and Affiliations

  • Wilhelm Specht
    • 1
  1. 1.ErlangenDeutschland

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