Zusammenfassung
Gauß gehört zu den großen Mathematikern, deren eigentümliche Begabung schon in der ersten Jugend durch ungewöhnliche Leistungen im Zahlenrechnen hervortrat. Auch während er das Collegium Carolinum zu Braunschweig besuchte (1792–1795), hat er viel gerechnet; schon im Jahre 1794 erfand er die Methode der kleinsten Quadrate. Auf umfangreiches numerisches Beobachtungsmaterial gründen sich auch die 1795 beginnenden Untersuchungen in der höheren Arithmetik, die 1801 in den Disqui-sitiones arithmeticae einen ersten Abschluß erhalten. Neben die zahlentheoretischen Untersuchungen treten in diesen Jahren höchster Schaffenskraft die Entdeckungen auf dem Gebiete der elliptischen Funktionen, und auch die Algebra gehört, wie das Tagebuch1) zeigt und die Dissertation (1799) bestätigt, zu den mathematischen Gegenständen, denen sich der junge Grauß zuwendet. Im Vergleich zur Analysis steht die Geometrie im Hintergrunde; doch läßt eine Aufzeichnung im Tagebuch vom September 1799 (T. Nr. 99) schon die große Frage nach den Gründen der Geometrie anklingen.
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Literature
Diese Wendung rindet sich bei Euler, siehe z. B. Nova acta acad. sc. Petrop. 4 (1786), 1789, S. 73.
Vgl. etwa L. Schlesinger und F. Engel in der Vorrede zu Eulers Institu-tiones calculi integralis, Opera omnia, ser. I, vol. 11, Leipzig 1913, S. XIII.
J. L. Lagrange, Théorie des fonctions analytiques, Paris 1797; Oeuvres, t. 9, S. 184.
C. F. Gauß, Disquisitiones arithmeticae, Lipsiae 1801, Praefatio; W. I, S. 5.
Gaede, Beiträge zur Kenntniß von Gauß’ praktisch-geodätischen Arbeiten, Zeitschrift für Vermessungswesen, Bd. 14,1885; auch als selbständiges Werk, Karlsruhe 1885, erschienen, S. 68.
Von wem der bösartige Angriff ausgegangen ist, hat sich noch nicht ermitteln lassen.
Andreas Gottlieb Kulenkamp hieß der Inhaber des Handelshauses in Lremen, bei dem Bessel von 1799 bis 1806 tätig gewesen war.
I. Kant, Kritik der reinen Vernunft, 1. Aufl. 1781, S. 25, 2. Aufl. 1877 S. 39: „So werden auch alle geometrischen Grundsätze . . . niemals aus allgemeinen Begriffen . . ., sondern aus der Anschauung, und zwar a priori mit apodiktischer Gewißheit hergeleitet”.
Vgl. das Literaturverzeichnis bei P. Stäckel und F. Engel, die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauß, Leipzig 1895; im Folgenden angeführt mit P. Th.
J. L. Lagrange, Leçons élémentaires sur les mathématiques, données à l’École normale en 1795, Oeuvres t. 7, S. 183.
A. M. Legendre, Eléments de géométrie, Paris 1794, 12. éd. Paris 1823.
A. M. Legendre, Réflexions sur les différentes manières de démontrer la théorie des parallèles, Mém. de l’Acad, t. 12, année 1828, Paris 1833, S. 367.
In dem Briefe an Olbers vom 30. Juli 1806 (W. VIII, S. 139, 165) bemerkt Gauß, es scheine sein Schicksal zu sein, in fast allen seinen theoretischern Arbeiten mit Legendre zu konkurrieren, und führt dafür an: die höhere Arithmetik, die transzendenten Funktionen, welche mit der Rektifikation der Ellipse zusammenhängen, die ersten Gründe der Geometrie und die Methode der kleinsten Quadrate. Für die höhere Arithmetik kommt in Betracht Legendr es Essay sur la théorie des nombres, Paris 1798, dessen Verhältnis zu den Disquisitiones arith-meticae Tschebyscheff in seiner Theorie der Kongruenzen (deutsch von Schapira, Berlin 1889) gut gekennzeichnet hat; im Besonderen ist noch das Reziprozitätsgesetz der quadratischen Reste zu nennen; vgl. Bachmann W. X2, S. 14. Die elliptischen Integrale hat Legendre in dem grundlegenden Mémoire sur les transcendantes elliptiques, Paris 1794 behandelt und ihnen dann zwei umfangreiche Werke gewidmet: Exercices de calcul intégral, 3 Bände, Paris 1811 – 1816; Traité des fonctions elliptiques, 3 Bände, Paris 1825–1832. Die Methode der kleinsten Quadrate entwickelt Legendre in den Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes, Paris 1805, während die Theoria motus corporum coelestium von Gauß erst 1809 erschienen ist (vgl. auch W. VIII, S. 136–141 und X1, S. 373 und 380). Hinzuzufügen wäre noch, daß Gauß und Legendre sich mit der Theorie und Praxis der Geodäsie beschäftigt haben und daß Legendres Satz über die Zurückführung eines kleinen sphärischen Dreiecks auf ein ebenes Dreieck mit ebenso langen Seiten auf die Untersuchungen von Gauß zur allgemeinen Lehre von den krummen Flächen anregend gewirkt hat. Auch bei der Anziehung der homogenen Eilipsoide sind beide zusammengetroffen ; für Legendre sind hier zu nennen die Abhandlungen in den Mémoires des savants étrangers, t. 10, Paris 1785 und in den Mémoires de l’Institut, année 1810, 2. partie, Paris 1814. Endlich sind noch die Arbeiten über das von Gauß mit Π, von Legendre mit Γ bezeichnete Eulersche Integral zu erwähnen (Exercices, t. I. S. 222–307). Die Vergleichung der Leistungen zeigt, daß Legendre mit scharfem Blick die Stellen erkannt hatte, an denen die mathematische Forschung mit Erfolg einsetzen konnte. Seinem unermüdlichen Fleiß und analytischen Geschick ist eine Reihe schöner Erfolge zu Teil geworden, jedoch blieb er überall auf einer Stufe stehen, die zu überschreiten erst dem Genie von Gauß vergönnt war. Mit besonderer Deutlichkeit tritt dies bei den Grundlagen der Geometrie hervor.
J. Wildt, Theses quae de lineis parallelis respondent, Göttingen 1795. Wildt hat in den Göttinger Gelehrten Anzeigen, Jahrgang 1800, S. 1769–1772 drei „auf reiner Anschaung beruhende Beweise” des elften Axioms veröffentlicht.
Wolfgang und Johann Bolyai, Geometrische Untersuchungen, herausgegeben von P. Stäckel, Leipzig 1913, 1. Teil: Leben und Schriften der beiden Bolyai, S. 8; im Folgenden angeführt mit Bol.
Man kann durch eine einfache, nur die allerersten Eigenschaften der asymptotischen Geraden benutzende Zeichnung ein solches Dreieck in ein inhaltgleiches, ganz im Endlichen liegendes Viereck verwandeln. Vgl. H. Liebmann, Zur nichteuklidischen Geometrie, Leipziger Berichte, Bd. 58, 1906, S. 560; Nichteuklidische Geometrie, 2. Aufl., Leipzig 1912, S. 53.
Vgl. den Aufsatz Ton P. Stäckel: F. A. Taurinus, Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik, Heft 9, Leipzig 1899, S. 427.
F. Engel, Lobatschefskijs Leben und Schriften, in dem Werke: N. I. Lobatschefskij, zwei geometrische Abhandlungen, herausgegeben von F. Engel, Leipzig 1898–99, S. 380; im Folgenden angeführt mit Lob.
J. d’Alembert, Mélanges de littérature, d’histoire et de philosophie, t. V., 4. éd. Amsterdam 1767, S. 200.
Vgl. hierfür wie für die folgenden Angaben den Aufsatz von P. Stäckel: F. L. Wächter, Math. Annalen, Bd. 54, 1901, S. 49–85.
F. C. Schweikart, Die Theorie der Parallellinien, nebst dem Vorschlage ihrer Verbannung aus der Geometrie, Jena und Leipzig 1807. Vgl. P. Th. S. 243–246.
In ähnlicher Weise war Clairaut, Éléments de Géométrie, Paris 1741, davon ausgegangen, daß das Vorhandensein von Rechtecken durch die Anschauung gegeben sei, und hatte daraus mit großer Klarheit die Sätze des ersten Buches der Euklidischen Elemente abgeleitet.
Vgl. auch die gegen Kant gerichteten Bemerkungen W. II, S. 177 und W. VIII, S. 224.
Für die folgende Darstellung vgl. P. Th. S. 246–252 und den Aufsatz von P. Stäckel: F. A. Taurinus, Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik, Heft 9, Leipzig 1899, S. 397.
Dies geht aus dem Briefe von Taurinus an Gauß vom 29. Dezember 1829 hervor (Brief im Gauß-Archiv). Vermutlich hatte Gauß daran Anstoß genommen, daß er von Taurinus in der Vorrede zur Theorie der Parallellinien (S. XIII) und in der Vorrede der Elementa (S. V—VI) erwähnt worden war.
Dasselbe Verfahren hatte schon Legendre in der zweiten Auflage der Éléments de géométrie (1798) angewandt.
Nach einer brieflichen Mitteilung von H. S. Carslaw (Sydney) ist in Nr. 4 der Notiz [3] der Fall übersehen, daß die Geraden cb und 1 einander nicht schneiden; diese Lücke ist in der Notiz [1], Nr. 4, Fall II ausgefüllt.
W. Bolyai, Tentamen iuventutem studiosam in elementa matheseos introducendi, t. I, Maros Väsärhely 1832, ed. secunda, Budapest 1897.
Dealina, Demonstratio theorematis esse superficiem planam, Marburg 1837
Chr. L. Gerling, Fragment über die Begründung des Begriffs der Ebene, Grelles Journal, Bd. 20, 1840, S. 332. Baltzer bemerkt in der zweiten Auflage seiner Elemente, Bd. II, 1867, g 4, Gauß sei der Meinung gewesen, Deahnas Darstellung lasse sich von einigen Mängeln, die in ihr anzutreffen seien, befreien; vgl. auch W. Killing, Einführung in die Grundlagen der Geometrie, Bd. II, Paderborn 1898, S. 183.
Vgl. noch E. Study, Die Begriffe Links, Rechts, Windungssinn und Drehungssinn, Archiv der Mathematik und Physik, 3. Reihe, Bd. 21, 1913, S. 193; hier wird auf den Briefwechsel zwischen Gauß und Gerling ausführlich Bezug genommen.
Gerlings Beweis ist von Hessel vereinfacht worden: Einige neue Beweise von Lehrsätzen aus der Elementar-Stereometrie, Archiv der Mathematik und Physik, 1. Reihe, Bd. 7, 1846, S. 284; Hessel bemerkt, daß Gerling durch. Gauß zu seinen Untersuchungen veranlaßt worden sei.
Es ist anzunehmen, daß Gauß diese Fragestellung dem Tentamen Wolfgang Bolyais verdankte; dieser hatte die Frage von der „endlichen Gleichheit” bei Flächenstücken ausführlich untersucht und dazu bemerkt: ob eine beliebige dreiseitige Pyramide durch endliche Gleichheit auf ein Prisma zurückgeführt werden könne oder nicht, sei noch nicht klargestellt (Tentamen. t. II, S. 175, ed. secunda, Budapest 1904, S. 241 ; vgl. Bol. S. 40 und 188).
M. Dehn, Über raumgleiche Polyeder, Göttinger Nachrichten 1900, S. 345; Über den Rauminhalt, Math. Annalen, Bd. 55, 1901, S. 465; vgl. jedoch schon R. Bricard, Sur une question de géométrie relative aux polyèdres, Nouv. ann. de math., série 3, t. 15, 1896, S. 331 und G. Sforza, Un’osservazione sull’ equivalenza dei poliedri per congruenza délie parti, Periodico di mat., t. 12, 1897, S. 105.
L. Carnot, Géométrie de position, Paris 1803; ins Deutsche übersetzt Ton H. C. Schumacher, 2 Bände, Altona 1810. Unter Géométrie de position versteht jedoch Carnot etwas anderes als die Geometria situs, nämlich Untersuchungen die sich auf die Anwendung negativer Zahlen in der Geometrie beziehen. Später hat man vielfach auch die projektive Geometrie als Geometrie der Lage bezeichnet und ihr die Geometrie des Maßes gegenübergestellt, was ebenfalls mit der Geometria situs im Sinne von Gauß nichts zu tun hat.
L. Euler, Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis, Comment. acad. sc. Petrop. 8 (1736), 1741, S. 128 (vorgelegt den 26. August 1735); vgl. den Artikel Situation von d’Alembert, Encyclopédie méthodique, Abteilung Math., Bd. III, Paris 1789, S. 53.
L. Euler, Elementa doctrinae solidorum, Novi Comment, acad. sc. Petrop. 4 (1752/3), 1758, S. 100 (gelesen Berlin, den 26. Nov. 1750); Demonstratio non-nullarum proprietatum, quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita, ebenda, S. 140 (vorgelegt den 6. April 1752); vgl. A. L. F. Meister, Commentatio de solidis geometricis, Comment. Soc. sc. Gotting. Vol. 7 (1784/85) 1786, Comm. Math. S..1.
L. Euler, Solution d’une question curieuse qui ne paroit soumise à aucune analyse, Hist, de l’Acad., année 1759, Berlin 1766, Mémoires, S. 310.
Ch. A. Vandermonde, Remarques sur les problèmes de situation, Hist. de l’Acad. année 1771, Paris 1774, S. 566. V. sagt: „Leibniz promit un calcul de situation et mourut sans rien publier. C’est un sujet où tout reste à faire et qui mériterait bien qu’on s’en occupât”. — Zu nennen wären ferner noch die Abhandlungen: N. Fergola, Nuovo metodo da risolvere alcuni problemi di sito e posizione, Atti dell’Accad., Napoli 1787, S. 119: Nuove ricerche sulle risoluzioni dei problemi di sito, ebenda, S. 157 und A. N. Giordano, Nuovo metodo da risolvere alcuni problemi di sito e posizione, ebenda, S. 139.
J. Uylenbroek, Chr. Hugenii aliorumque seculi XVIL virorum celebrium exercitationes mathematicae et philosophicae, Haag 1833, Heft 1, S. 9 ; im Heft 2, S. 6 ist der dem Briefe beigelegte Versuch einer geometrischen Charakteristik abgedruckt. Beides findet man wieder in Leibnizens Mathematischen Schriften, herausgegeben von C. J. Gerhardt, 1. Abt., Bd. 2, Berlin 1850, S. 19, 20, ferner in Graßmanns Gesammelten mathematischen und physikalischen Werken, Bd. I, Teil 1, Leipzig 1894, S. 417, in den Oeuvres complètes von Chr. Huygens, Bd. 8, Haag 1899, 8. 216, 219 und endlich bei C. J. Gerhardt, Der Briefwechsel von Leibniz mit Mathematikern, Bd. I, Berlin 1899, S. 568, 570.
M. Dehn und P. Heegaard, Analysis situs, Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Bd. III, Teil 1, S. 154.
M. Dehn und P. Heegaard, a. a. 0, S. 155. Man findet hier auch ausführliche Angaben über die anschließenden Arbeiten. Hinzuzufügen ist, daß Fr. Zöllner, Naturwissenschaft und christliche Offenbarung, Leipzig 1881, S. 100 berichtet, ein gewisser Schürlein, ein Schüler von Gauß, habe sich sehr eingehend und unter stetiger Teilnahme von Gauß mit diesem Gegenstande beschäftigt ; leider ist es nicht möglich gewesen, Näheres hierüber zu ermitteln.
In der Fußnote zum art. 21 der Dissertation sagt Gauß ausdrücklich, Beweise, die sich auf die Geometria situs stützten, seien nicht weniger schlüssig als solche, bei denen man sich der Prinzipien der Geometria magnitudinis bediene.
M. Dehn und P. Heegaard, a. a. O., S. 170.
A. F. Möbius, Gesammelte Werke II, Leipzig 1886, S. 518–559. Einen Teil der darin enthaltenen Ergebnisse hat Möbius veröffentlicht: Theorie der elementaren Verwandtschaft, Leipziger Berichte 1863, S. 18, Werke II, S. 433; Über die Bestimmung des Inhalts eines Polyeders, ebenda 1865, S. 31, Werke II, S. 473.
Vgl. Graßmanns Leben von F. Engel, Graßmanns Werke III, Teil 2, Leipzig 1911, S. 108–118. Die Abhandlung ist abgedruckt in den Werken Bd. 1, Teil 1, S. 321–399.
Graßmanns Werke III, Teil 2, S. 117.
Die betreffenden Aufzeichnungen besitzt teils die Universitätsbibliothek in Gottingen, teils der Verfasser dieses Aufsatzes.
Vgl. die Bemerkung Reinhardts, Möbius Werke II, S. 519.
Vgl. P. Stäckel, Die Entdeckung der einseitigen Flächen, Math. Annalen, Bd. 52, 1899, S. 598.
B. Riemann, Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Größe, Dissertation, Göttingen 1851, art. 6; Werke, 1. Aufl. S. 9–12; Theorie der Abelschen Functionen, zweiter Abschnitt, Crelles Journal, Bd. 54, 1857, Werke, 1. Aufl., S. 84–89.
Vgl. die Bemerkungen Dedekinds in Riemanns Lebenslauf, Werke, 1. Aufl., S. 512–515.
R. Cotes, Harmonia mensurarum, sive analysis et synthesis per rationum et angulorum mensuras promota, Cambridge 1722.
A. de Moivre, Miscellanea analytica, London 1730.
L. Euler, Introductio in analysin, Lausanne und Genf 1748, siehe besonders t. 1, cap. 8: De quantitatibus transcendentibus ex circulo ortis.
Ch. A. Vandermonde, Remarques sur les problèmes de situation, Histoire de l’Acad., année 1771, Paris 1774, Mémoires, S. 566; Sur la résolution des équations; ebenda, S. 365; in deutscher Sprache herausgegeben von C. Itzigsohn, Vandermonde, Abhandlungen aus der reinen Mathematik, Berlin 1887. Auf S. 375 behauptet Vandermonde, die Gleichung xn-1 = 0 sei für jeden Grad n durch Wurzelziehen lösbar und führt die Rechnungen für einige Fälle durch, im Besonderen für n = 11. Für die Exponenten n ≤ 10 hatte schon Euler, De extractione radicum ex quantitatibus irrationalibus, Comment, acad. sc. Petrop. 13 (1741/3) 1751, § 39 bis 48, Opera omnia, ser. I, vol. 6, S. 31, die Wurzeln mittels bloßer Wurzelziehungen dargestellt; dagegen, meint er, führe der Fall n = 11 auf eine Gleichung fünften Grades, deren Lösung noch verborgen sei.
Das Zeichen i für √ - 1 tindet sich gelegentlich schon bei Euler, nämlich in der am 5. Mai 1777 der Petersburger Akademie vorgelegten Abhandlung: De formulis differentialibus angularibus maxime irrationalibus, quas tarnen per logarithmos et arcus circulares integrare licet, die 1794 aus dem Nachlaß im vierten Bande der Institutiones calculi integralis abgedruckt ist, ed. tertia, Petersburg 1845, S. 184. Gauß hat das Zeichen i seit dem Jahre 1801 beständig angewandt und seinem Beispiel sind die Mathematiker gefolgt.
J. d’Alembert, Recherches sur le calcul integral, 1. partie, Histoire de l’Acad. Année 1746, Berlin 1748, Mémoires, 8. 182–191; vgl. P. Stäckel, Integration durch imaginäres Gebiet, Bibliotheca math. (3) 1 (1900), S. 124.
C. G. J. Jacobi, lieber die complexen Primzahlen, Crelles Journal, Bd. 19, 1839, S. 314, Werke VI, S. 275.
Eisenstein, Geometrischer Beweis des Fundamentaltheorems für die quadratischen Reste, Crelles Journal, Bd. 28, 1844, S. 248.
R. W. Hamilton, Theory of conjugate functions, or algebraic couples, Transactions of the Royal Irish Academy, Vol. 17, Dublin 1837, S. 393.
Zum Beispiel hat Gauß vom Dezember 1839 bis Ostern 1840 eine Vorlesung über die Theorie der imaginären Größen gehalten, von der zwei Stücke in den Werken abgedruckt sind (W. VIII, S. 331–334 und S. 346–347). Abschnitt III. Die komplexen Grössen in ihrer Beziehung zur Geometrie. Die „Darstellung der imaginären Größen in den Relationen der Punkte in piano” (Brief an Drobisch vom 14. August 1834, W. Xl, S. 106) hat nicht nur für die arithmetischen und funktionen¬theoretischen, sondern auch für die geometrischen Untersuchungen von Gauß eine so große Bedeutung, daß den Beziehungen der komplexen Größen zur Raumlehre ein besonderer Abschnitt dieses Aufsatzes gewidmet werden soll; in ihm werden die Ausführungen, die Bachmann und Schlesinger gemacht haben, wieder aufgenommen und ergänzt werden.
L. Carnot, Geometrie der Stellung, übersetzt von H. C. Schumacher, 2. Teil, Altona 1810, Vorrede, S. II.
Ph. Naudé, Trigonoscopiae cuiusdam novae conspectus, Miscellanea Bero-linensia, t. V, 1737, S. 10; siehe besonders S. 17.
Der Beweis von Gauß ist den 96 Beweisen hinzuzufügen, die J. Versluys gesammelt hat: Zes en negentig bewijzen voor het theorema van Pythagoras, Amsterdam 1914; von den dort mitgeteilten Beweisen kommt dem Gaußschen am nächsten der von Brand, Une nouvelle démonstration de Pythagore, Journal de mathématiques élémentaires, série 5, t. 21, 1897, S. 36.
Monatliche Correspondenz zur Beförderung der Erd- und Himmelskunde, herausgegeben von v. Zach, Bd. 21, 1810, S. 462.
Monatliche Correspondenz, Bd. 22, 1810, S. 223 und 227.
A.a.O., S.513.
I. Newton, Philosophiae naturalis principia mathematica, London 1687 Liber I, Lemma 25 ; im Corollarium 3 wird auch der Satz ausgesprochen, daß die Mitten der Diagonalen eines Vierseits auf einer Geraden liegen.
L. Euler, Introductio in analysin, T. II, Lausanne 1748, § 123.
Monatliche Correspondenz, Bd. 22, 1810, S. 505.
J. Plücker, Analytisch-geometrische Entwicklungen, Band II, Essen 1831, S. 208
L. Schläfli, Anwendungen des barycentrischen Calculs, Archiv der Mathematik und Physik, Bd. 12, 1849, S. 99
J. Steiner, Teoremi relativi alle coniche inscritte e circoscritte, Giornale arcadico, t. 99, S. 147, Crelles Journal, Bd. 30, 1845, S. 17, Gesammelte Werke, Bd. II, S. 334. Euler hat die duale Aufgabe behandelt, um ein gegebenes Viereck die kleinste Ellipse zu beschreiben, Nova acta. acad. sc. Petrop. 9 (1791), 1795, S. 132; vorgelegt den 4. Sept. 1777.
L. Pothenot, Problème de Géométrie pratique, Mém. de l’Acad. depuis 1666 jusqu’à 1699, t. 10, Paris 1730, S. 150 (vorgelegt 1692). Für das Geschichtliche vgl. die Dissertation von R. Wagner, Ueber das Pothenotsche Problem, Göttingen 1852 und die Angaben in J. C. Poggendorffs Biographisch-literarischem Handwörterbuch, II, Leipzig 1863, Spalte 509.
J. Collins, A solution of a chorographical problem, Philosophical transactions, Vol. 6, Nr. 69, London, März 1671.
Für die Behandlung geometrischer Aufgaben mittels komplexer Größen vgl. noch die Dissertation von II. zur Nedden, Applicatio numeri complexi ad demonstranda nonnulla geometriae theoremata, Göttingen 1840.
Vgl. auch die Dissertation von K. Bopp, Das kürzeste Verbindungssystem von vier Punkten, Göttingen 1879.
In dem Brief an Olbers vom 30. Oktober 1825 bemerkt Gauß, er habe „erst vor kurzem eine Abhandlung von Meister im ersten Bande der Novi Com-mentarii Gotting. kennen gelernt, worin die Sache fast ganz auf gleiche Art betrachtet und sehr schön entwickelt wird”; gemeint ist die Abhandlung von A. L. F. Meister, Generalia de genesi figurarum planarum et inde pendentibus earum af-fectionibus, Novi Commentarii acad. Gotting., vol. I ad annos 1769/70, 1771, S. 144.
C. G. J. Jacobi, Regel zur Bestimmung des Inhalts der Sternpolygone, Journal für die r. u. a. Mathematik Bd. 65, 1866, S. 173, Werke VII, S. 40; vgl. auch W. Veitmann, Berechnung des Inhalts eines Vielecks aus den Coordinaten der Eckpunkte, Zeitschrift für Mathematik und Physik, Bd. 32, 1887, S. 339. Nach L. Königsberger, C. G. J. Jacobi, Leipzig 1904, S. 155 hat Jacobi seine Regel im Sommer 1833 gefunden.
A. F. Möbius, Der barycentrische Calcul, Leipzig 1827, Kap. II, g 17 und 18, Werke I, S. 39–41.
A. F. Möbius, Ueber die Bestimmung des Inhaltes eines Polyeders, Leipziger Berichte, Bd. 17, 1865, S. 31, Werke II, S. 485–491.
R. Baltzer, Vorrede über Möbius, Werke I, S. VIII.
A. F. Möbius, Beobachtungen auf der Sternwarte zu Leipzig usw., Leipzig 1823, S. 57; Werke I, S. 394.
Vgl. R. Goldenring, Die elementargeometrischen Konstruktionen des regelmäßigen Siebzehnecks, Dissertation, Jena 1915. Die zeitlich älteste Konstruktion ist die dort noch nicht erwähnte von Pfleiderer, die erst 1917 (Werke X 1, S. 120) veröffentlicht worden ist.
Die Abhandlung Erchingers hatte Gauß von einem Braunschweiger Bekannten, dem Juristen E. Schrader in Tübingen, am 1. Sept. 1825 zugesandt erhalten. Hiernach war Erchinger, der sonst ganz unbekannt ist, ein mathematischer Autodidakt, der etwa seit 1813 in Tübingen lebte. Er hatte einen Beitrag geliefert zu der Abhandlung Schraders: Commentatio de summatione seriet (math) Weimar 1818, die einen Preis der Kopenhagener Gesellschaft der Wissenschaften erhalten hatte. Nach Schraders Brief an Gauß vom 20. April 1831 war Erchinger inzwischen gestorben (Briefe im Gauß-Archiv). Vgl. auch Klügeis Mathematisches Wörterbuch IV. Teil, Leipzig 1823, S. 652 (Artikel Summierung der Reihen).
M. Simon, Über die Entwicklung der Elementargeometrie im XIX. Jahrhundert, I. Ergänzungsband des Jahresberichtes der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Leipzig 1906, S. 98; man findet hier (S. 97–105) eine Zusammenstellung der umfangreichen Literatur über das Apollonische Taktionsproblem.
A. F. Möbius, Ueber eine Methode, um von Relationen, welche der Lon-gimetrie angehören, zu den entsprechenden Sätzen der Planimetrie zu gelangen, Leipziger Berichte, Bd. 4, 1352, S. 41, Werke II, S. 189.
A. F. Möbius, Ueber eine neue Verwandtschaft zwischen ebenen Figuren, Leipziger Berichte, Bd. 5, 1853, S. 14, Werke II, S. 205; später hat Möbius die Kreisverwandtschaft rein geometrisch begründet: Die Theorie der Kreis Verwandtschaft in rein geometrischer Darstellung, Leipziger Abhandlungen, Bd. 4, 1855, S. 529; Werke II, S. 243.
Vgl. für die von Riemann benutzte Verwendung der Kugel zur Darstellung komplexer Größen C. Neumann, Vorlesungen über Riemanns Theorie der Abelschen Integrale, Leipzig 1865
für die linearen Substitutionen F. Klein, Vorlesungen über das Ikosaeder, Leipzig 1884, erster Abschnitt, Kapitel IL
Gauß hat sein Exemplar der Principia im Jahre 1794 erworben.
Es handelt sich um die Konstruktion eines Kegelschnitts mittels zweier um ihre Scheitelpunkte drehbarer Winkel, deren eines Schenkelpaar sich auf einer Geraden schneidet, während der Durchschnittspunkt des anderen Schenkelpaares den Kegelschnitt beschreibt, I. Newton, Philosophiae naturalis principia mathe-matica, London 1687, Liber I, Sectio 5, Lemma 21. Vgl. auch ü. Maclaurin, Geometria organica, sive descriptio Knearum curvarum universalis, London 1720. erster Abschnitt.
Vgl. auch den Brief an Schumacher vom 19. Mai 1843, Br. G.-Sch. IV, S. 151.
A. L. Cauchy, Mémoire sur la synthèse algébrique, Comptes rendus, t. 16, Paris 1843, S. 867, Oeuvres, 1. série, t. 7, Paris 1892, S. 382.
A. L. Cauchy, Notes annexées au Rapport sur le Mémoire de M. Amyot, Comptes rendus, ebenda, S. 885, Oeuvres, ebenda S. 377.
Ein ausführlicher Bericht über die der Pariser Akademie eingereichte Abhandlung Amyots: Nouvelle méthode de génération et de discussion des surfaces du second ordre von Cauchy steht Comptes rendus ebenda, S. 783, Oeuvres, ebenda S. 325; die Abhandlung Amyots ist abgedruckt in Liouvilles Journal, 2. série, t. 8, 1843, S. 163.
Hachette und Petit, De l’équation qui a pour racines les carrés des de-miaxes principaux d’une surface du second ordre, Correspondance sur l’école polytechnique, t. 2, 1812, S. 324, 327.
A. L. Cauchy, Leçons sur les applications du calcul infinitésimal à la géométrie, t. I, Paris 1826, S. 240; Oeuvres, 2. série, t. 5, S. 250.
J. P. de Gua,. Trigonométrie sphérique, Mém. de l’Acad., année 1783, Paris 1786, S. 291.
J. L. Lagrange, Solution de quelques problèmes relatifs aux triangles sphériques, Journal de l’école polytechnique, cahier 6, 1798, S. 279, Oeuvres, t. 7, S. 329.
Für die rechtwinkligen Dreiecke hatte schon Klügel diese Erweiterung vorgenommen, Analytische Trigonometrie, Braunschweig 1770.
A. F. Möbius, Ueber eine neue Behandlungsweise der analytischen Sphärik, Abhandlungen bei Begründung der Königl. Sachs. Gesellschaft der Wissenschaften herausgegeben von der Jablonowskischen Gesellschaft d. W., Leipzig 1846, S. 45, Werke II, S. 1.
E. Study, Sphärische Trigonometrie, orthogonale Substitutionen und elliptische Funktionen, Leipziger Abhandlungen, Bd. 21, 1893.
G. II. L. Warnstorff, Sammlung von Hülfstafeln, Altona 1845, S. 132. Die Formeln werden dort nicht ausdrücklich als von Gauß herrührend bezeichnet, wie es bei den anderen Beiträgen von Gauß geschehen ist, z. B. bei den Tafeln für barometrisches Höhenmessen; vgl. W. IX, S. 456.
Th. Wittstein, Lehrbuch der Elementar-Mathematik, 2. Band, 2. Abteilung, Hannover 1862, S. 146: die betreffende Stelle ist abgedruckt W. X 1, S. 457.
Connaissance des temps pour Pan 1809, Paris avril 1807, 8. 445. Auch Delambre hat die Formeln ohne Beweis mitgeteilt. Ein Beweis ist zuerst von K. B. Mollweide gegeben worden, der die Formeln selbständig gefunden hat, Zusätze zur ebenen und sphärischen Trigonometrie, Monatliche Correspondenz, Bd. 18, 1808, S. 394.
Vgl. E. Hammer, Lehr- und Handbuch der ebenen und sphärischen Trigonometrie, 4. Aufl., Stuttgart 1910, S. 479, 481.
Vgl. W. Jordan, Handbuch der Vermessungskunde, Bd. Ill, 4. Aufl., Stuttgart 1896, S. 259.
Näheres findet man in dem Aufsatz von Galle über die geodätischen Arbeiten von Gauß, der demnächst in diesen Materialien erscheinen wird.
Hierauf beziehen sich die Briefe von v. Lindenau an Gauß vom 18. und 28. Juni 1816 (Briefe irn Gauß — Archiv) ; die Briefe von Gauß an v. Lindenau scheinen vernichtet worden zu sein, vgl. Br. G.-Bolyai, S. 156 (Brief von Sar-torius v. Waltershausen an \V. Bolyai vom 12. August 1856).
Die Beziehung der Richtungen im Räume auf die Punkte der Einheitskugel findet sich schon in der Scheda Ac, Varia, begonnen Nov. 1799, S. 3.
Vgl. Gaede, Beiträge zur Kenntnis von Gauß’ praktisch-geodätischen Arbeiten, Zeitschrift für Vermessungswesen, Bd. 14, 1885; auch als besondere Schrift, Karlsruhe 1885 erschienen.
Weder in dem Bulletin de la société philomathique noch in den sonstigen Veröffentlichungen von Monge und Poinsot hat sich eine auf die konforme Abbildung bezügliche Stelle rinden lassen. Vielleicht hat Burckhardt an Poissons Note: Sur les surfaces élastiques gedacht, die im Bulletin, année 1814, S. 47 steht und in deren erstem Teil biegsame, unausdehnbare Flächen betrachtet werden. Die Note ist ein Auszug aus einer Abhandlung, die Poisson am 1. August 1814 gelesen hatte und die in dem zweiten Teil der Mémoires de l’Institut, année 1812, Paris 1816, S. 167 erschienen ist.
F. Th. Schubert, De projectione sphaeroidis elliptieae geographica, Nova acta acad. sc. Petrop., t. 5 ad annum 1787, Petersburg 1789, S. 130.
A. Tissot, Sur les cartes géographiques, C. R. t. 49, Paris 1859, S. 673.
J. I. Lambert, Anmerkungen und Zusätze zur Entwerfung der Land- und Himmel seh arten, erschienen in den Bey trägen zum Gebrauche der Mathematik, 3. Teil, Berlin 1772, S. 105–199.
Vgl. P. Stäckel, Beiträge zur Geschichte der Funktionentheorie im 18. Jahrhundert, Bibliotheca mathem. (3), 2, 1901, S. 113 und 119.
L. Euler, De repraesentatione superficiei sphaericae super piano, Acta acad. sc. Petrop. t. 1 pro anno 1777: I, 1778, S. 107.
J. L. Lagrange, Sur la construction des cartes géographiques, Nouv. Mém. de l’Acad., année 1779, Berlin 1781, S. 161, 186; Oeuvres, t. 4, S. 635.
C. G. Jaeobi, Vorlesungen über Dynamik, gehalten im W.-S. 1S42/43, 2. Ausgabe, Berlin 1884, S. 215; vgl. auch Hr. G -Sch., III, S. 173, der unterdrückte Name ist v. Littrow.
I. Newton, Opuscula mathematica, rec. I. Castillioneus, vol. 1, Lausanne und Genf 1714, S. 244; es heißt wörtlich: „Et his prineipiis via ad majora sternitur”.
Vgl. auch den Brief an Pfaff vom 21. März 1825: „Nach Beendigung der Messungen werde ich darüber ein eigenes Werk, vermutlich von bedeutender Ausdehnung, ausarbeiten” (W. X1, S. 250).
Joh. Bernoulli, Journal des savants, année 1697, S. 394, Opera omnia, Lausanne 1742, t. I, S. 204.
L. Euler, De linea brevissima in superficie quacunque duo quaelibet puncta jungente, Comment, acad. sc. Petrop. t. 3 (1728), 1732, S. 110.
Joh. Bernoulli, In superficie quacunque curva ducere lineam inter duo puncta brevissimam, Opera omnia, Lausanne 1742, t. IV, S. 108.
Vgl. P. Stäckel, Bemerkungen zur Geschichte der geodätischen Linien, Leipziger Berichte, 1893. S. 444.
A. M. Legendre, Mémoire s.ur les opérations trigonométriques dont les résultats dépendent de la figure de la terre, Histoire de PAcad., année 1787, Paris 1789, Mémoires, S. 358.
A. M. Legendre, Résolution des triangles sphériques dont les cotés sont très-petits, pour la détermination d’un arc de méridien, Note III des Werkes von Delambre, Méthodes analytiques pour la détermination d’un arc de méridien, Paris, an VIII ; kurz darauf erschien im Journal de l’école polytechnique ein Beweis von Lagrange, Solutions de quelques problèmes relatifs aux triangles sphériques, t. II, cah. 6, Paris 1798, S. 270; Oeuvres t. 7, S. 329. Der Merkwürdigkeit wegen sei hier auf die überhebliche Kritik hingewiesen, die Kaestner in seinen Geometrischen Abhandlungen, 2. Sammlung, Göttingen 1791, S. 456–458 an dem Legendreschen Theorem geübt hat ; vielleicht hat sie zu dem geringschätzigen Urteil beigetragen, das Gauß über Kaestner als Mathematiker gefällt hat.
C. F. Gauß, Supplementum theoriae combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae, vorgelegt den 16. September 1826, W. IV, S. 55.
Ausführliche Angaben findet man bei P. Stäckel, Bemerkungen zur Geschichte der geodätischen Linien, Leipziger Berichte, 1893, S. 452–455.
L. Euler, De solidis, quorum superficiem in planum explicare licet, Novi Comment. Petrop. 16 (1771), 1772, S. 3; vorgelegt am 5. März 1770.
L. Euler, Opera postuma, St. Petersburg 1862, t. I, S. 494–496.
G. Monge, Sur les développées, les rayons de courbure et les différents genres d’inflexions des courbes à double courbure, Mém. sav. étr. t. 10, Paris 1785, S. 511 (eingereicht 1771); Sur les propriétés de plusieurs genres de surfaces courbes, particulièrement sur celles des surfaces développables, avec une application à la théorie des ombres et pénombres, Mém. sav. étr, t. 9, Paris 1780, S. 382 (eingereicht 1775); vgl. auch J. Meusnier, Sur la courbure des surfaces, Mém. sav. étr. t. 10, Paris 1785, S. 509 (vorgelegt 1776).
J. L. Lagrange, Mécanique analytique, 2. éd., t. I, Paris 1812, Statique, sect. V, Chap. 3, §11: De l’équilibre d’un fil ou d’une surface flexible et au même temps extensible et contractible, Oeuvres, t. 11, S. 156
S. Germain, Recherches sur la théorie des surfaces élastiques, Paris 1820 (verfaßt 1815). Diese Untersuchungen waren veranlaßt durch Chladnis Entdeckungen über die Klang-iiguren (Akustik, Leipzig 1802).
F. Minding, Ueber die Kurven kürzesten Perimeters auf krummen Flächen, Crelles Journal, Bd. 5, 1830, S. 297.
O. Bonnet, Mémoire sur la théorie générale des surfaces, Journal de l’école polytechnique, t. 19, cah. 32, 1848, S. 131.
F. Minding, Ueber die Biegung gewisser Flächen, Grelles Journal, Bd. 18, 1838, S. 367 ; Wie sieb entscheiden läßt, ob zwei gegebene krumme Flächen auf einander abwickelbar seien oder nicht, ebenda, Bd. 19, 1839, S. 378; Über die kürzesten Linien krummer Flächen, ebenda, Bd. 20, 1840, S. 324.
B. Goldschmidt, Determinatio superticiei minimae rotatione curvae data duo puncta jungentis circa datum axem ortae, Göttingen livü.
Histoire de TAcad., année 1760, Berlin 1767, Mémoires S. 110.
L. Euler, Éléments de la trigonométrie sphéroidique tirés de la méthode des plus grands et plus petits, Histoire de l’Acad., année 1753, Berlin 1755, Mémoires S. 258.
M. Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Bd. IV, Leipzig 1908, Abschnitt XXIV: Kommereil, Analytische Geometrie des Raumes und der Ebene, S. 529.
L. Euler, Methodus facilis omnia symptomata linearum curvarum non in eodem piano sitarum investigandi, ActaPetrop., t. 6 pro anno 1782:1, 1786, S. 19,37.
O. Rodrigues, Sur quelques propriétés des intégrales doubles et des rayons de courbure des surfaces, Correspondance sur l’école polytechnique, t. 2, 1815 S. 162; abgedruckt im Bulletin de la société philomatique, année 1815, S. 34
vgl. P. Stäckel, Bemerkungen zur Geschichte der geodätischen Linien, Leipziger Berichte 1893, S. 456.
Der darin erwähnte, „ungezogene Ausfall” von Fay olle steht im Philosophical Magazine, new series, vol. 4, London 1828, S. 436; er ist abgedruckt im Briefwechsel G.-O., 2, S. 508.
Diese richtige Einsicht hat Euler nicht davor bewahrt, bald darauf, 1769, in der Dioptrik (Lib. I, § 4, Opera omnia, ser. 3, vol. 3, S. 8) zu behaupten, ein Flächenelement lasse sich stets als sphärisch ansehen, und damit in einen Fehler zurückzufallen, den schon Leibniz begangen hatte (Brief an Joh. Bernoulli vom 29. Juli 1698, Commercium epistolicum, Lausanne und Genf 1745, t. 1, S. 387). Leibnizens Mathematische Schriften, herausgegeben von C. J. Gerhardt, 1. Abt., Bd. 3, Halle 1855, S. 526). Auch d’Alembert hat sich dieses Fehlers schuldig gemacht (Artikel Surfaces courbes in der Encyclopédie méthodique, Abteilung Mathematik, Bd. II, Paris 1784, S. 464).
S. Germain, Mémoire sur la courbure des surfaces, Grelles Journal. Bd. 7, 1831, S. 1.
R. Sturm, Ein Analogon zu Gauß’ Satz von der Krümmung der Flächen, Math. Annalen, Bd. 21, 1883, S. 379.
F. Casorati, Mesure de la courbure des surfaces suivant l’idée commune, Acta math. 14, 1890, S. 95
vgl. auch R. v. Lilienthal, Zur Theorie des Krümmungsmaßes der Flächen, ebenda, 16, 1892, S. 143.
R. v. Lilienthal, Die auf einer Fläche gezogenen Kurven, Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Bd. III, Teil 3, S. 172 (1902).
J. Weingarten, Ueber die Theorie der auf einander abwickelbaren Oberflächen, Festschrift der Technischen Hochschule zu Berlin, 1884.
Mainardi, Su la teoria generale délie superficie, Giornale dell’Istituto lombardo, t. 9, 1857, S. 394.
D. Codazzi, Sülle coordinate curvilinee d’una superficie e dello spazio, Ann. di mat. (2), 1, 1867, S. 293; 2, 1868, S. 101, 269; Mémoire relatif à l’application des surfaces les unes sur les autres, Mém. prés, par divers sav. 2. série, t. 27, Paris 1883 (vorgelegt 1859).
O. Bonnet, Mémoire sur la théorie des surfaces applicables sur une surface -donnée, Journal de l’école polytechnique, t. 25, cah. 42, 1867, S. 31.
C. G. J. Jacobi, Demonstratio et amplificatio nova theorematis Gaussiani de eurvatura intégra trianguli in data superficie e lineis brevissimis formati, Crelles Journal, Bd. 16, 1837, S. 344; Werke, Bd. 7, 8. 26.
Th. Clausen, Berichtigung eines von Jacobi aufgestellten Theorems, Astron. Nachrichten, Bd. 20, Nr. 457 vom 29. Sept. 1842.
Vgl. auch die Briefe von Schumacher an Gauß vom 1. Sept., 9. Nov. und 4. Dez. 1842 und dessen Antwort vom 3. Sept. 1842, Br. G.-Sch. IV, S. 82, 92, 101, 83.
C. G. J. Jacobi, Ueber einige merkwürdige Curventheoreme, Astronom* Nachrichten, Bd. 20, Nr. 463 vom 15. Dez. 1842; Werke Bd. 7, S. 34.
F. Klein, Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, Programm, Erlangen 1872, Math. Annalen, Bd. 43, 1893, S. 67.
F. Minding, Wie sich entscheiden läßt, ob zwei gegebene krumme Flächen auf einander abwickelbar seien oder nicht, Crelles Journal, Bd. 19, 1839, S. 370.
G. Lamé, Leçons sur les fonctions transcendantes et sur les surface isothermes, Paris 1857.
E. Beltrami, Sulla teorica generale dei parametri differenziali, Memorie deirAcc. di Bologna, zweite Reihe, Bd. 8, 1869, S. 551, Opère matematiche II, S. 74.
E. B. Christoffel, Ueber die Transformation der homogenen Differential-ausdrücke zweiten Grades, Journal f. r. u. a. Math. Bd. 70, 1869, S. 46; Gesammelte mathematische Abhandlungen, Bd. I, S. 352.
R. Lipschitz, Untersuchungen in Betreff der ganzen homogenen Funktionen von n Differentialen, Journal f. r. u. a. Mathematik, Bd. 70, 1869, S. 71, Bd. 71, 1870, S. 274, 288, Bd. 72, 1870, 8. 1 ; Bemerkungen zu dem Prinzip des kleinsten Zwanges, ebenda, Bd. 82, 1877, S. 316 (im Anschluß an Riemanns 1876 veröffentlichte Pariser Preisarbeit vom Jahre 1861). 4; Man vgl. etwa F. Zöllner, Naturwissenschaft und christliche Offenbarung, Leipzig 1881, sowie die zahlreichen Veröffentlichungen von IL Scheffler in Braunschweig.
Vgl. P. Stäckel, Eine von Gauß gestellte Aufgabe des Minimums, Heidelberger Berichte, Jahrgang 1917, 11. Abhandlung.
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Stäckel, P. (1918). C. F. Gauss als Geometer. In: Materialien für eine wissenschaftliche Biographie von Gauß. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-16202-5_2
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