Viertes Kapitel

Zusammenfassung

Die Bestimmung der Länge des Bogens einer ebenen Kurve, die sogenannte Rektifikation, ist ebenfalls eine Aufgabe, die von der Integralrechnung in allgemeinster Weise gelöst wird. Wir gehen, wie bei der elementaren Berechnung des Kreisumfanges, von einem Sehnenvieleck aus, bezeichnen den Bogen als Funktion von x mit s und lassen x um Δx wachsen; dann wächst y um Δy, und die dadurch bestimmte Sehne nennen wir As. In dieser Annahme liegt ein grundsatzlicher Unterschied zu der elementaren Kreisbe-rechnung; dort geht man von Vielecken mit lauter gleichen Seiten aus, hier sind die Stücke Δx der Abszissenachse alle untereinander gleich und die zugehörigen As untereinander verschieden. Aus dem rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten Δs, Δx, Δy ergibt sich Δs ² = Δx ²+Δy ², Dividiert man diese Gleichung durch Δx ², zieht die Quadratwurzel und geht zur Grenze über, so kommt

$$\frac{{ds}}{{dx}} = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} \quad und\quad s = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\sqrt {1 + {{y'}^2}} dx}$$

((XXVII))