Drittes Kapitel

Zusammenfassung

Die gleichseitige Hyperbel, deren Gleichung wir in der einfachsten Form xy = 1, oder y = x ^-1 annehmen, spielt in der Geschichte der Mathematik des 17. Jahrhunderts eine bedeutsame Rolle. Wohl hatte man bei der Hyperbel, wie bei der Ellipse und Parabel, schon im Altertum viele Eigenschaften aufgedeckt, man konnte vor allem auch ihre Tangenten konstruieren, aber es war nicht gelungen, wie bei den andern Kegelschnitten (vgl. § 3 und § 10), den Flächeninhalt eines Segments zu berechnen. Diese Aufgabe, die um die Mitte des 17. Jahrhunderts auf mehrfache Weise gelöst wurde und zu einer belangreichen Erweiterung der bis dahin bekannten Funktionen fahrte, wollen wir jetzt in Angriff nehmen. Da für x = 0 die Ordinate y = ∞ wird, so können wir das Integral, das uns den Flacheninhalt liefert, nicht von der unteren Grenze x = 0 aus berechnen, wir müssen eine andere Grenze wählen, und zwar wollen wir x = 1 herausgreifen. Die obere Grenze sei ein beliebiger Punkt P mit den Koordinaten x und $y = \frac{1}{x}$.