Zusammenfassung
Während die drei Themen der Klasse IV Symmetrie, Kongruenz und Parallelismus waren, beschäftigen wir uns in Klasse V mit den drei Themen Kreis, Flächeninhalt und Verhältnisgleichheit. Wir beginnen mit der Kreislehre. Um sie logisch sicherzustellen, sind noch zwei Voraussetzungen ausdrücklich in Worte zu fassen, die im folgenden Lehrgang stillschweigend als aus der Anschauung entnommene Axiome gelten sollen.
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Referenzen
Vgl. dazu unten S. 57 und 70.
Wegen des Beweises seiauf Weber-Wellstein, Enzyklopädie der Elementarmathematik, Bd. I, Leipzig 1907, S. 235–238,
Killing-Hovestadt, Handbuch des mathematischen Unterrichts, Bd. I, Leipzig 1910, S. 270–275 und Thieme, Die Elemente der Geometrie, Leipzig 1909, S. 41–43, 49–50 und 61 verwiesen.
Leitfaden der Geometrie, Leipzig 1898.
Lehrbuch der Mathematik, Ausgabe B, I, Breslau 1915.
Lehrbuch der Mathematik, Ausgabe A, 1. Teil, Unterstufe I, Berlin 1915.
Elemente der Mathematik, 3. Heft, Planimetrie, Berlin 1874.
Die Elemente der Planimetrie, Metz 1888.
Die Geometrie für Gymnasien und Realschulen, 1. Teil, Planimetrie, Leipzig 1881.
Lehrbuch der Elementargeometrie, 1. Teil, Leipzig 1910.
ZMNU 52, 1921, S. 73 u. 260.
Thaer-Lony a. a. O. S. 60.
Thaer-Lony a. a. O. S. 69.
Worpitzky a. a. O. S. 222.
S. Anhang.
Grundlagen der Geometrie, 3. Aufl. 1909, S. 22.
a. a. O. S. 57.
S.Q.Nr. 27.
Vgl. auch Q. Nr. 28.
Näheres bei H. Rath, Die rationalen Dreiecke, Archiv d. Math. u. Phys. J. 56, 1874, S. 188–224 und F. Gauß, Über die pythagoreischen Zahlen, Progr. Bunzlau 1894.
Vgl. zum Pythagoras auch das hübsche Bändchen von W. Lietzmann, Der pythagoreische Lehrsatz, Math.-phys. Bibl. Nr. 3, 3. Aufl. 1926 und Böttcher, ZMNU 52, 1921, S. 153.
Versluys, Zes en negentig bewijzen voor het theorema van Pythagoras, Amsterdam 1914.
Vgl. übrigens auch die Bemerkungen zum Pythagoras in drei Abh. von Ernst Müller im 10. u. 12. Band der Ann. der Naturphilosophie.
Nach Böttcher a. a. O.
Nach Böttcher a. a. O.
H. Brandes, Über die axiomatische Einfachheit mit besonderer Berücksichtigung der auf Addition beruhenden Zerlegungsbeweise des pythagoreischen Lehrsatzes, Diss. Halle 1908. Vgl. auch Bernstein, ZMNU 55, 1924, S.204.
ZMNU 37, 1906, S.27.
ZMNU 45, 1914, S.564.
Math. Gaz. Okt. 1909.
6. Beiheft zur ZMNU, S. 52.
Man kann den erweiterten Pythagoras auch durch Verallgemeinerung der Figuren des 1. und 2. Beweises in (5) gewinnen. Vgl. dazu A. Witting, ZMNU 42, 1911, S. 158, R. Hunger, ZMNU 44, 1913, S. 379 und ZMNU 52, 1921, S. 160, E. Staiger-Klein, ZMNU 49, 1918, S. 347.
Dazu kommt bei Hilbert (a.a.O. S.22) als letztes Maßaxiom noch das sog. Vollständigkeitsaxiom:[21’]. Zu dem System der Punkte, Geraden, Ebenen ist es nicht möglich, ein anderes System von Dingen hinzuzufügen, so daß in dem durch Zusammensetzung entstehenden System sämtliche bis jetzt aufgeführten Axiome erfüllt sind. — Statt der beiden Hilbertschen Stetigkeitsaxiome zusammen kann man auch das eine Dedekindsche Stetigkeitsaxiom wählen, das bei Willers (a.a.O.) das letzte Maßaxiom ist: [21]. Zerfallen die Punkte einer Streckens in zwei Klassen C 1 ,C 2 ,C 3 , . . . und D 1 , D2, D 3 , . . . derart, daß jeder Punkt C i auf jeder Strecke AD, und jeder Punkt Di auf jeder Strecke (math) liegt, so existiert ein Punkt X derart, daß jeder Punkt C i der Strecke (math), kein Punkt C i der Strecke (math), jeder Punkt Di, der Strecke (math), kein Punkt Di der Strecke (math) angehört.
Vgl. dazu das Dedekindsche Stetigkeitsaxiom der vorigen Anm.
Näheres über sie bringt Enriques, Fragen der Elementargeometrie, Bd. I, Leipzig 1910, S. 203–213.
Lehrbuch der analytischen Geometrie, Leipzig 1912.
Auf die Subtraktion gehen wir der Kürze halber nicht besonders ein.
Das Produkt zweier Strecken ist also wieder als Strecke, nicht als Fläche dargestellt.
Er heißt so, weil er der Grenzfall des Pascalschen Satzes der Kegelschnittslehre ist, wenn 1. der Kegelschnitt in zwei Gerade (SE und SE’) zerfällt und 2. die Pascalsche Gerade mit der unendlich fernen Geraden zusammenfällt.
Der einzige arithmetische Rest liegt in dem Auftreten der ganzen Zahlen m und n im 6. und 7. Satz.
Vgl. dazu Schur, Die Grundlagen der Geometrie, Leipzig 1909, S. 135.
Hilbert a. a. O. S. 44.
Math. Ann. 66, 1909, S. 558 und Jahresbericht der Deutschen Math.-Ver. 21, 1912, S. 173.
Hilbert a. a. O. S. 63 u. 64.
Für eine ganz strenge Begründung der Lehre vom Maß vgl. die Abh. von O. Hölder, Die Axiome der Quantität und die Lehre vom Maß, Leipziger Ber., Math.-phys. Kl. 1901.
Vgl. dazu Kommerell, Der Begriff des Grenzwerts in der Elementarmathematik, Leipzig 1922, S. 35–45.
Vgl. dazu Lipken, ZMNU 53, 1922, S. 20.
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Fladt, K. (1928). Der Lehrstoff der Obertertia (Klasse V). In: Elementargeometrie. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-16035-9_3
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