Zusammenfassung
Man hat zwei wesentlich verschiedene Ausgangspunkte für die Definition des analytischen Charakters einer in einem Bereiche der komplexen z-Ebene eindeutig erklärten Funktion zu unterscheiden. An den allgemeinen Dirichletschen Funktionsbegriff knüpft die nach Cauchy und Riemann benannte Erklärung an: Analytisch heißen diejenigen eindeutigen Funktionen, welche an jeder Stelle einen Differentialquotienten besitzen. Im Sinne der von Weierstraß 1) und Méray vertretenen Auffassung liegt es, den analytischen Charakter durch die Entwickelbarkeit in Potenzreihen zu erklären. Daß beide Definitionen gleichwertig sind, ist eine bekannte Folge des Cauchyschen Integralsatzes.2) Indem aber sein Beweis zu verschiedenen Zeiten ein mehr oder weniger großes Ausmaß an Voraussetzungen nötig machte, wechselte die Fassung der Cauchy-Riemannschen Definition. So glaubte man bis 1884 (und länger), dazu noch die Stetigkeit des Differentialquotienten voraussetzen zu müssen. Erst Goursat erkannte, daß die Stetigkeit nicht besonders vorausgesetzt werden muß (näheres weiter unten). Daß auch an der so entstehenden Fassung der Definition noch Abstriche gemacht werden können, werden wir weiter unten sehen.
Dieser Artikel will den 1900 abgeschlossenen Osgoodschen Artikel (II B 1) bis 1920 weiterführen. Diese Aufgabe zwang mich, häufig vor 1900 zurückzugreifen. Die ausländische Literatur der Kriegsjahre habe ich leider nicht immer einsehen können, so daß ich in dieser Hinsicht manchmal aus zweiter Hand schöpfen mußte. Wenn ich auch nicht hoffen darf, peinlichste Vollständigkeit erreicht zu haben, so glaube ich doch, daß mein Aufsatz ein einigermaßen treffendes Bild vom augenblicklichen Stande der Theorie gibt. Die Theorien der konformen Abbildung habe ich allerdings mit Rücksicht auf den Artikel Lichtenstein (II C 3) nur eben streifen dürfen. Viele wertvolle Ratschläge gaben mir während der Korrekturen Faber, Hardy, Hartogs, Hellinger, Ostrowski, Pólya, Rosenthal, Szász. Ich erwähne das mit aufrichtigem Dank.
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Bieberbach, L. (1921). Neuere Untersuchungen über Funktionen von Komplexen Variablen. In: Burkhardt, H., Wirtinger, M., Fricke, R., Hilb, E. (eds) Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-16030-4_4
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