Advertisement

Neuere Untersuchungen über Funktionen von Komplexen Variablen

  • Ludwig Bieberbach
Chapter
  • 48 Downloads

Zusammenfassung

Man hat zwei wesentlich verschiedene Ausgangspunkte für die Definition des analytischen Charakters einer in einem Bereiche der komplexen z-Ebene eindeutig erklärten Funktion zu unterscheiden. An den allgemeinen Dirichletschen Funktionsbegriff knüpft die nach Cauchy und Riemann benannte Erklärung an: Analytisch heißen diejenigen eindeutigen Funktionen, welche an jeder Stelle einen Differentialquotienten besitzen. Im Sinne der von Weierstraß 1) und Méray vertretenen Auffassung liegt es, den analytischen Charakter durch die Entwickelbarkeit in Potenzreihen zu erklären. Daß beide Definitionen gleichwertig sind, ist eine bekannte Folge des Cauchyschen Integralsatzes.2) Indem aber sein Beweis zu verschiedenen Zeiten ein mehr oder weniger großes Ausmaß an Voraussetzungen nötig machte, wechselte die Fassung der Cauchy-Riemannschen Definition. So glaubte man bis 1884 (und länger), dazu noch die Stetigkeit des Differentialquotienten voraussetzen zu müssen. Erst Goursat erkannte, daß die Stetigkeit nicht besonders vorausgesetzt werden muß (näheres weiter unten). Daß auch an der so entstehenden Fassung der Definition noch Abstriche gemacht werden können, werden wir weiter unten sehen.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Notes

Literatur

  1. L. Bianchi, Lezioni sulla teoria delle funzioni di variabile complessa e delle funzioni ellitiche, Pisa 1901.Google Scholar
  2. L. Bieberhach, Einführung in die konforme Abbildung, Berlin 1915.Google Scholar
  3. O. Blumenthal, Principes de la théorie des fonctions entières d’ordre infini, Paris 1910.Google Scholar
  4. E. Borel, Leçons sur la théorie des fonctions, Paris 1898; 2. Aufl. Paris 1915.Google Scholar
  5. —, Leçons sur les fonctions entières, Paris 1900.Google Scholar
  6. —, Leçons sur les séries divergentes, Paris 1901.Google Scholar
  7. —, Leçons sur les séries à termes positifs, Paris 1902.Google Scholar
  8. —, Leçons sur les fonctions méromorphes, Paris 1903.Google Scholar
  9. —, Leçons sur la théorie de la croissance, Paris 1910.Google Scholar
  10. —, Leçons sur les fonctions monogènes uniformes d’une variable complexe, Paris 1917.Google Scholar
  11. P. Bout-roux, Leçons sur les fonctions définies par les équations différentielles du premier ordre, Paris 1908.Google Scholar
  12. H. Burkhardt, Einführung in die Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen, 3. Aufl., Leipzig 1908.Google Scholar
  13. P. Dimes, Leçons sur les singularités des fonctions analytiques, Paris 1913.Google Scholar
  14. T. S. Fiske, Functions of a complex variable, New York 1906.Google Scholar
  15. W. B. Ford, Studies on divergent series and summability, New York 1917.Google Scholar
  16. A. R. Forsyth, Theory of functions of a complex variable, 3d ed. Cambridge 1918.Google Scholar
  17. —, Lectures introductory to the theory of functions of two complex variables, Cambridge 1914.Google Scholar
  18. E. Fouet, Leçons élémentaires sur les fonctions analytiques, 2. Aufl., Bd. I (Paris 1907), Bd. II (Paris 1910).Google Scholar
  19. J. Hadamard, La série de Taylor et son prolongement analytique (Coll. Scientia), Paris 1901.Google Scholar
  20. G. H. Hardy, Ordres of infinity. The infinitarcalcul of Paul Du Bois Reymond, Cambridge 1910.Google Scholar
  21. J. Harkness and J. Morley, A treatise on the theory of functions, London 1893.Google Scholar
  22. —, Introduction to the theory of analytic functions, London 1898.Google Scholar
  23. G. Kowalewski, Die komplexen Veränderlichen und ihre Funktionen, Leipzig 1911.Google Scholar
  24. K. Knopp, Funktionentheorie (Sammlung Goeschen), Bd. I, 1. Aufl. Leipzig 1913, 2. Aufl. Leipzig 1918; Bd. II, 1. Aufl. Leipzig 1913, 2. Aufl. Leipzig 1920.Google Scholar
  25. E. Landau, Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie, Berlin 1916.Google Scholar
  26. E. Lindelöf, Le calcul des résidus, Paris 1905.Google Scholar
  27. Th. M, Macrobert, Functions of a complex variable, London 1917.Google Scholar
  28. P. Montel, Leçons sur les séries de polynomes à une variable complexe, Paris 1910.Google Scholar
  29. N. Nielsen, Elemente der Funktionentheorie, Leipzig 1911.Google Scholar
  30. W. F. Osgood, Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. I, 1. Aufl. Leipzig 1907, 2. Aufl. Leipzig 1912, 3. Aufl. Leipzig 1920.Google Scholar
  31. —, Topics in the theory of functions of several variables. The Madison Colloquium 1913, New York 1914.Google Scholar
  32. S. Pincherle, Lezioni sulla teoria delle funzioni, Bologna 1899.Google Scholar
  33. J. Petersen, Vorlesungen über Funktionstheorie, Kopenhagen 1898.Google Scholar
  34. S. E. Sawitsch, Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen, St. Petersburg 1906.Google Scholar
  35. O. Stolz und J. A. Gmeiner, Einleitung in die Funktionentheorie, Leipzig 1904.Google Scholar
  36. G. Vivanti, Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen, deutsch von A. Gutzmer, Leipzig 1906.Google Scholar
  37. G. N. Watson, Complex integration and Cauchys theorem, Cambridge tracts Nro. 15 (1914).Google Scholar
  38. H. Weyl, Die Idee der Riemannschen Fläche, Leipzig 1913.Google Scholar
  39. E. T, Whittaker and G.N. Watson, A course of modern analysis. An introduction of infinite series and of analytic functions with an account of the principal transcendental functions, Cambridge 1902. 2. Aufl. 1915, 3. Aufl. 1920.Google Scholar
  40. L. Zoretti, Leçons sur le prolongement analytique, Paris 1911.Google Scholar

Copyright information

© Springer Fachmedien Wiesbaden 1921

Authors and Affiliations

  • Ludwig Bieberbach
    • 1
  1. 1.Frankfurt a. m.Deutschland

Personalised recommendations