Zusammenfassung
Nachdem man gegen Ende des 17. Jahrhunderts mit Hilfe der Differential- und Integralrechnung die allgemeinen Grundlagen für eine Theorie der elementaren transzendenten Funktionen gewonnen hatte, machte sich schon sehr bald das Bestreben geltend, diese Theorie im Anschlusse an die Arbeiten der älteren Analysten ohne Benutzung des Infinitesimalcalcüls durch wesentlich algebraische Methoden zu begründen. Eulers introductio in analysin infinitorum (1748) ist der erste systematische Versuch zur Errichtung eines derartigen Lehrgebäudes, das sofort durch den von Euler entdeckten Zusammenhang zwischen e ξi und cos ξ, sin ξ, somit schließlich durch die prinzipielle Einführung des gleichfalls der Algebra entlehnten Imaginären in die Analysis gegenüber den systematischen Darstellungen der ausschließlich mit reellen Veränderlichen arbeitenden Infinitesimalrechnung seinen besonderen Charakter erhielt und späterhin im Gegensatze zur letzteren als algebraische Analysis bezeichnet wurde. Gelang es auch Eulers rechnerischem Genie, zahlreiche in der angedeuteten Richtung erwachsende Probleme mit glücklichstem Erfolge zu behandeln, so blieb doch die strengere Begründung seiner zumeist durch rein formale Übertragung algebraischer Methoden auf sogenannte unendliche Algorithmen gewonnenen Resultate einer späteren Periode vorbehalten.
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Literatur
Lehrbücher
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Augustin Cauchy, Cours d’Analyse de l’école polytechnique. — I. Analyse algébrique, Paris 1821 (= Oeuvres (2), 3). Deutsch von B. Huzler (Königsberg 1828) und von C. Itzigsohn (Berlin 1885). (Die Originalausgabe zitiert als Cauchy An.).
— Résumés analytiques. Turin 1833 (= Oeuvres (2), 10).
Martin Ohm, Versuch eines vollkommen konsequenten Systems der Mathematik 2, Berlin 1829.
E. H. Dirkcsen, Organon der gesamten transzendenten Analysis, Berlin 1845.
Oskar Schlömilch, Handbuch der algebraischen Analysis, Jena 1845 (5. Aufl. 1873). (Zitiert als Schlömilch).
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Eugène Catalan, Traité élémentaire des séries, Paris 1860.
H. Laurent, Théorie des séries, Paris 1862.
G. Novi, Analisi algebrica, Firenze 1863.
Charles Méray, Nouveau Précis d’analyse infinitésimale, Paris 1872; Leçons nouvelles sur l’analyse infinitésimale 1, Paris 1894; 2, 1895.
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Rudolph Lipschitz, Lehrbuch der Analysis; 1, Grundlagen der Analysis, Bonn 1877.
J. Thomae, Elementare Theorie der analytischen Funktionen, Halle 1880; 2. Aufl. 1898.
Richard Baltzer, Die Elemente der Mathematik 1 (7. Aufl.), Leipzig 1885.
Otto Stolz, Vorlesungen über allgemeine Arithmetik 1, 2, Leipzig 1885–86. (Zitiert als: Stolz 1 bezw. 2).
— u. J. A. Gmeiner, Theoretische Arithmetik, Leipzig 1902. (Zitiert als Stolz-Gmeiner A.).
— — Einleitung in die Funktionentheorie, Leipzig 1902, 1904. (Zitiert als Stolz-Gmeiner F.).
A. Capelli-G. Garbieri, Analisi algebrica, Padova 1886.
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Jules Tannery, Introduction à la théorie des fonctions d’une variable, Paris 1886. 2. éd. 1, Paris 1904.
Otto Biermann, Theorie der analytischen Funktionen, Leipzig 1887.
— Elemente der höheren Mathematik, Leipzig 1895.
Salvatore Pincherle, Analisi algebrica, Milano 1893.
— Lezioni di algebra complementare. I. Analisi algebrica, Bologna 1906.
Joseph Bertrand et Henri Garcet, Traité d’algèbre 2, Paris 1894.
Ernesto Cesàro, Corso di analisi algebrica, Torino 1894. — Deutsche Ausgabe von G. Kowalewski unter dem Titel: Elementares Lehrbuch der algebraischen Analysis und der Infinitesimalrechnung. Leipzig 1904.
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Heinrich Burkhardt, Algebraische Analysis, Leipzig 1903.
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Alfred Pringsheim, Vorlesungen über die elementare Theorie der unendlichen Reihen und der analytischen Funktionen. (In Vorbereitung.).
(Die englische und amerikanische Literatur scheint keine Lehrbücher über algebraische Analysis zu enthalten. Allenfalls wäre der 2. Band von Chrystals Algebra hierzu zu rechnen. Im übrigen verwenden die englischen und amerikanischen Mathematiker auch in relativ elementaren Darstellungen stets die Hilfsmittel des „Calculus“ d. h. der Differential-und Integralrechnung. So z.?. T. J. I’a Bromwich, An introduction to the theory of infinite series. London 1908. — William F. Osgood, Introduction to infinite series. Cambridge Mass. 1897 [2. Aufl. 1902].).
Monographien
(Jean Robert Argand) Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques. Ie éd. (sans nom d’auteur) Paris 1806. 2e éd. (par J. Hoüel), Paris 1874.
Bernhard Bolzano, Der binomische Lehrsatz und als Folgerung aus ihm der polynomische und die Reihen, die zur Berechnung der Logarithmen und Exponentialgrößen dienen, genauer als bisher erwiesen, Prag 1816.
N. H. Abel, Untersuchungen über die Eeihe \(1\, + \,\frac{m} {1}x\,\, + \,\frac{{m(m - 1)}} {{1.2}}{x^2}\, + \, \cdots,\), herausgeg. von A. Wangerin (Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Nr. 71, Leipzig 1895) (== J. f. Math. 1 (1826), p. 31 == Oeuvres éd. Sylow-Lie 1, p. 219).
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Pringsheim, A., Faber, G. (1921). Algebraische Analysis. In: Burkhardt, H., Wirtinger, M., Fricke, R., Hilb, E. (eds) Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-16030-4_1
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