Zusammenfassung
Im Referate II A 4a (P. Painlevé) wurden die Integrale gewöhnlicher Differentialgleichungen in der unmittelbaren Umgebung eines festen Wertes der komplexen unabhängigen Veränderlichen x untersucht, und zwar bei gewöhnlichen Anfangsbedingungen in Nr. 1–16, bei gewöhnlichen singulären Anfangsbedingungen in Nr. 17–23 und bei außergewöhnlichen Anfangsbedingungen in Nr. 24–37. In dem vorliegenden Referate wird nun das Verhalten der allgemeinen Lösungen bei beliebigen Wegen der unabhängigen Veränderlichen in der komplexen x-Ebene besprochen werden; die Hauptaufgabe wird aber in der Bestimmung und Untersuchung solcher nichtlinearer gewöhnlicher Differentialgleichungen bestehen, deren allgemeine Lösungen einen möglichst einfachen funktionentheoretischen Charakter haben, z. B. eindeutige Funktionen der unabhängigen Veränderlichen x sind oder sonst in bezug auf die Lage ihrer singulären Stellen und ihr Verhalten in der Umgebung derselben besonderen Forderungen genügen.
Für die Mitwirkung bei der Korrektur dieses Referates und für eine große Anzahl von Verbesserungs- und Ergänzungsvorschlägen ist der Verfasser den Herren J. Horn, M. Noether und L. Schlesinger zum wärmsten Danke verpflichtet.
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Literatur
P. Boutroux, Leçons sur les fonctions définies par les équations différentielles du premier ordre. Paris 1908, mit einem Anhang von P. Painlevé (Im folgenden zitiert: „Boutroux, Vorlesungen“ und „Painlevé bei Boutroux.“).
P. Fiorentini, Sulla teoria delle equazioni differenziali ordinarie del primo or-dine. Batt. Giorn. 44 (1906), p. 26-88, p. 291-313.
A. R. Forsyth, Theory of differential equations Part. III. Ordinary equations not linear. Vol. II. III. Cambridge 1900.
J. Horn, Gewöhnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung. Sammlung Schubert, L. Leipzig 1905.
L. Koenigsberger, Lehrbuch der Theorie der Differentialgleichungen. Leipzig 1889.
P. Painlevé, Leçons sur la théorie analytique des équations différentielles professées à Stockholm 1895. Paris 1897. (Im folgenden zitiert: „Painlevé, Vorlesungen.“).
—, Le problème moderne de l’intégration des équations différentielles. Verhandlungen des dritten internationalen Math.-Kongresses in Heidelberg 1904. p. 86 f.
E. Picard, Traité d’Analyse, Bd. II und III. l.Aufl. Paris 1893 u. 1896. 2. Aufl. ebenda 1905 und 1908.
L. Schlesinger, Einführung in die Theorie der Differentialgleichungen. Sammlung Schubert, XIII. Leipzig. 1. Aufl. 1900. 2. Aufl. 1903.
Zur Ergänzung des vorliegenden Referates sind die folgenden Referate heranzuziehen: II A 4a, P. Painlevé, Gewöhnliche Differentialgleichungen; Existenz der Lösungen. In diesem Referate ist die Frage der Existenzbeweise bei gewöhnlichen und singulären Anfangsbedingungen sowie die Theorie der singulären Integrale behandelt.
II A 4b, E. Vessiot, Gewöhnliche Differentialgleichungen; elementare Integrationsmethoden.
IIB 5, E. Hilb, Lineare Differentialgleichungen im komplexen Gebiet.
III D 8, H. Liebmann, Geometrische Theorie der Differentialgleichungen.
Ferner sei, was die Behandlung der in der analytischen Mechanik ein-schließlich des Drei-und n-Körperproblems auftretenden Differentialgleichungen anbetrifft, auf die Referate IV 12 von C. Müller und IV13 von G. Prange sowie auf das Referat VI 2, 12 von Whittaker verwiesen.
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Hilb, E. (1921). Nichtlineare Differentialgleichungen. In: Burkhardt, H., Wirtinger, W., Fricke, R., Hilb, E. (eds) Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-16022-9_6
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