Zusammenfassung
In diesem Abschnitt sollen allein Verfahren und Hülfsmittel zur Ausführung von Zahlenrechnungen, die von dem Ergebnis eine beliebige Anzahl genauer Ziffern zu finden gestatten, besprochen werden.
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Hinweise
D. h. in unserem gewöhnlichen Zahlensystem mit der Grundzahl (Basis) 10. Ist B die Grundzahl, so hat die,... a 3 a 2, a −1 a −2... geschriebene Zahl den Wert Über vom dekadischen abweichende Zahlensysteme, von denen man Spuren bei einzelnen Völkern gefunden hat, s. H. Hankel, Zur Gesch. der Math., Leipz. 1874, p. 20, sowie M. Cantor, Vorl. üb. Gesch. der Math. 1, 2. Aufl., Leipzig 1894, p. 8f.
Es besteht die Thatsache, dass unser Zahlensystem nicht das für das Rechnen geeignetste ist, weshalb wiederholt, selbst in neuester Zeit vorgeschlagen worden ist, ein Zahlensystem mit anderer Basis — am geeignetsten wäre 12 oder 8, aber auch 16 und 6 haben Fürsprecher gefunden — zu benützen. Über die Geschichte dieser Bestrebungen vgl. E. Ullrich, Das Rechnen mit Duodezimalzahlen, Progr. Realsch. Heidelberg 1891. Weitere Litteratur: John W. Nystrom, Project of a new system of arithmetic... with sixteen to the base, Philadelphia 1862; W. Woolsey Johnson, Octonary numeration, New York Bull. M. Soc. 1, 1891/92, p. 12.
E. Gelin, Du meilleur système de numération..., Mathésis (2)6 (1896), p. 161. S. auch Intermédiaire des mathématiciens 6 (1899), p. 133-135.
S. M. Cantor, Vorl. üb. Gesch. der Mathematik 2, p. 454; A.v. Braunmühl, Zeitschr. Math. Phys. 44, 1899, Suppl. p. 15.
„Saggio di calcolazione rapida per mezzo delle tavole delle cifre costanti“, Napoli, Bideri (1893?). Eine Probe nebst Erklärung giebt G. C. Baravelli, Nota su alcuni aiuti alla esecuzione dei calcoli numerici, Roma 1895, p. 19; in verbesserter, auch zur Multiplikation geeigneter Form in Zeitschr. Math. Phys. 44 (1899), p. 50.
„Factor table for the fourth million“, London 1879; fifth million 1880; sixth million 1883. A. L. Crelle und J. Ch. Burckhardt hatten diesen Teil ebenfalls berechnet. Mehr als irgendwo scheint auf diesem Gebiet durch Wiederholung schon gethaner Arbeit Zeit und Kraft verschwendet worden zu sein. Vgl. P. Seelhoff, Geschichte der Faktorentafeln, Arch. Math. Phys. 70 (1884), p. 413.
S. Kulik’s kurze Mitteilung in den Prager Abh. d. böhm. Ges. d. W. (5)11 (1860), p. 24, Fussnote, sowie Petzval’s Bericht, Wien. Ber. 532 (1866), p. 460. Um Raum zu sparen, bezeichnet Kulik (ähnlich wie Felkel) die Teiler nicht durch Ziffern, sondern durch Buchstabenverbindungen, deren Bedeutung einem Schlüssel zu entnehmen ist.
Der Gedanke, die Addition durch Verschieben eines gleichmässig geteilten Massstabes an einem zweiten auszuführen, ist unbekannten Ursprungs, aber jedenfalls alt. J. C. Houzeau, Fragment II sur le calcul numérique, Brux. Bull. (2)40 (1875), p. 74, empfiehlt die „addition au ruban“, welche in Bankhäusern angewendet werde: man misst mit einem Massstab an einem ebenso geteilten Bande weiter. Ein Messband ist auch in dem Apparat von L. Reimann, D. R. P. (= deutsches Reichspatent) Nr. 45482 (1888) benützt.
Bis auf einige Additionsmaschinen, wie den Comptometer124), gehören dazu von neueren Rechenmaschinen nur die von G. B. Grant [s. Amer. J. sc. arts (3)8 (1874), p. 277]. Die Zifferscheiben ihres Zählwerks können blos in einem Sinne gedreht werden und die Subtraktion irgend einer Ziffer geschieht durch Addition ihrer Ergänzung zu 10. Vgl. den Schluss der Nr. 14 sowie Anm. 114.
Bei der „circular calculating machine“ von J. Edmondson [s. Philos. Mag. (5)20 (1885), p. 15; Abb. Dyck’s Katalog p. 151, von Bohl p. 151] sind Haupt-und Nebenzählwerk mit einander vereinigt. Der kreisförmige Bau derselben gestattet, jede Ziffer des Zählwerks jeder Ziffer des Schaltwerks gegenüber zu bringen, so dass eine nicht aufgehende Division beliebig lange ohne neue Einstellung des Restes fortgesetzt werden kann.
Bei der Maschine von K. Duschanek, D. R. P. Nr. 26778 (1883), s. Polyt. J. 260 (1886), p. 264, können alle drei Systeme von Ziffern durch eine einzige Kurbeldrehung auf Null gestellt werden; bei derjenigen von Edmondson 158) lassen sich die Ziffern des inneren Kreises, in welchem Haupt-und Nebenzählwerk vereinigt sind, nach Belieben insgesamt oder teilweise auslöschen.
Man kann die gewöhnliche Methode zu Grunde legen. A. Töpler hat ein besonderes Verfahren angegeben [s. F. Reuleaux, Verh. V. f. Gewerbfleiss, 44 (1865), p. 112], welches darauf beruht, dass die Summe der n ersten ungeraden Zahlen gleich n 2 ist.
S. H. Meidinger, Polyt. J. 156 (1860), p. 241, 321. Abb. von Bohl p. 189. Beschreib. der Einzelheiten in Brit. patent specific., Oct. 17, 1854, Nr. 2216.
S. Lelaunay, Par. C. R. 56 (1863), p. 330.
Neben176) sei als leichter zugänglich genannt die Mitteilung von L. F. Menabrea, Par. C. R. 99 (1884), p. 179.
Vgl. Max Curtze, Zeitschr. Math. Phys. 40 (1895), hist.-litter. Abt., p. 7.
Kepler verweist auch bei dieser, a. a. O. p. 306, auf Prätorius, von welchem aber keine Beispiele bekannt zu sein scheinen. Identisch mit Kepler’s Verfahren ist das von A. L. Crelle, J. f. Math. 31 (1846), p. 167, der übrigens auch Genauigkeitsbetrachtungen anstellt.
J. C. Houzeau [Brux. Bull. (2)40 (1875), p. 101 f.] zeigt noch eine „division en série“, „div. par approximations successives“ und einige andere Methoden, die aber nicht als zweckmässig bezeichnet werden können; wegen einer von demselben Verf. erwähnten „multiplication sommaire“ vgl. Anhang, Nr. 59.
Das Wort mantisa oder mantissa stammt nach einer Stelle bei Festus, Pauli excerpta (ed. E. O. Müller) p. 132, 10 aus dem Etrurischen und bedeutet eine (unnütze) Zugabe. S. noch E. Hoppe, Hamb. Math. Ges. Mitt. 4 (1901), p. 52. L. Schrön 252) nennt jede der Kennziffer angehängte Dezimalstelle eine Mantisse, spricht also von der 1., 2.,... Mantisse, statt, wie sonst üblich, von der 1., 2.,... Ziffer der Mantisse. — K. Fr. Gauss benützt (Disqu. arithm., art. 312) das Wort Mantisse auch für die Reihe der Dezimalen, die sich bei der Verwandlung eines gewöhnlichen Bruchs in einen Dezimalbruch ergeben.
Die vollständigste Liste, über 553 Tafeln umfassend, verdankt man D. Bierens de Haan: Tweede ontwerp eener naamlijst van Logarithmentafels, Amst. Verh. 15 (1875), p. 1. [Vorher ging: Jets over Logarithmentafels, Amst. Versl. en Meded. (1) 14 (1862), p. 15.] Wo in den folgenden Anmerkungen ein Titel auf eine Tafel der Logarithmen der natürlichen Zahlen allein sich bezieht, ist ein * vorgesetzt. In allen anderen Fällen handelt es sich um Tafelsammlungen, die ausserdem noch Tafeln der Logarithmen der trigonometrischen Funktionen [III A 2] und andere (z. B. Tafeln der natürl. Zahlenwerte der trigonom. Funktionen, Quadrattafeln u. s. w.) enthalten, welche Zugaben ausserordentlich wechseln, je nachdem die Sammlung den Bedürfnissen der Astronomen, Geodäten, Ingenieure, Nautiker gerecht werden will. Wegen der trigonom. Tafeln für die dezimale Teilung der Winkel s.
R. Mehmke, Bericht üb. Winkelteilung, Deutsch. Math.-Ver. 8 (1900), insbes. Anm. 20, p. 149.
Die Handhabung der gewöhnlichen Logarithmentafeln ist sehr bekannt und darf hier um so eher unbesprochen bleiben, als in den allermeisten Tafeln ausführliche Anleitungen zum Gebrauche zu finden sind. Bei 10-stelligen Tafeln hat man zur Interpolation im allgemeinen auch die Differenzen 2. Ordnung nötig (s. Interpolation, I D 3, Nr. 6). Die kleinste Zahl der Logarithmen, die eine Tafel enthalten muss, wenn Interpolation mit 1. Differenzen möglich sein soll, untersucht J. E. A. Steggall, Edinb. Math. Soc. Proc. 10 (1891/92), p. 35.
Wegen der thatsächlich angewandten oder zweckmässigsten Methoden vgl. etwa Hutton 223) (bezügl. der älteren); Vega’s Thesaurus246), Einleitung; A. Cauchy, Par. C. R. 32 (1851), p. 610 = Oeuvres (1) 11, p. 382 (Bericht üb, e. Arbeit von Koralek, nur 7-stellige Logarithmen).
J. Glaisher, Factor table for the fourth million, London 1879, Einleitung (üb. die Anwendung von Faktorentafeln, s. Nr. 9, bei der Berechnung); Ellis 275).
K. Zindler, Zeitschr. Realschulwesen 22 (1897), p. 398; s. auch Nr. 28.
Es gehören dazu Tafeln der trigonometrischen Funktionen und ihrer Logarithmen für Dezimalteilung des Quadranten. Der Druck ist begonnen, aber nicht zu Ende geführt worden. Genaueste Beschreibung von F. Lefort, Paris Observ. Ann. 4 (1858), p. 123. Sang hat (Edinb. Roy. Soc. Proc. 1874/75, pp. 421, 581) die Zuverlässigkeit dieser Tafeln stark in Zweifel gezogen, Lefort (ebenda, pp. 563, 578) dieselben in Schutz genommen. Nachdem sie mehrfach zur Revision anderer Tafeln gedient hatten, ist 1891 ein 8-stelliger Auszug249) daraus erschienen.
Vgl. Glaisher, On the progress to accuracy of logarithmic tables, Monthly Notices Astr. R. Soc. 33 (1873), p. 330; mehr als 200 Jahre waren seit dem Druck von Vlack’s Tafeln230) verflossen, bis eine von deren Fehlern freie Tafel erschien, und wiederholt haben sich neue Fehler eingeschlichen. — Ein Verzeichnis aller bekannten (an den verschiedensten Orten veröffentlichten) Druckfehler in den im Gebrauch befindlichen Tafeln ist (nach Glaisher) von dem „Table Committee“ der British Association längst geplant, aber noch nicht er schienen.
Im 18. Jahrhundert wurde ein Fehler von mehreren Einheiten der letzten Dezimale noch leicht genommen (vgl. Gernerth 234), Einleitung). Erst später kam der von K. Fr. Gauss (Einige Bemerkungen zu Vega’s Thesaurus Logarithmorum, Astr. Nachr. 32 (1851), p. 181 = Werke 3, p. 257) stark betonte Grundsatz, „dass die Tabulargrösse dem wahren Wert allemal so nahe kommen soll, als bei der gewählten Anzahl von Dezimalstellen möglich ist“, allmählich zur Herrschaft. Im Gegensatz dazu begnügt sich.
Glaisher [Monthly Notices R. Astr. Soc. 33 (1873), p. 440 flg.] mit der Forderung, der Tafelwert solle nie um mehr als 0,555... einer Einheit in der letzten Stelle falsch sein. Noch grössere Schärfe, als Gauss für nötig hielt, haben einzelne durch die Angabe, ob die letzte Ziffer erhöht ist oder nicht, zu erreichen gesucht. Abgesehen von Kepler 190) bezeichnen die Erhöhung bei allen Ziffern z. B. M. von Prasse (fünfstellige logarithmische Tafeln, Leipzig 1810), Babbage 244) 1827, Sedlaczek (Wien. Ber. 1847, p. 428), Steinhauser 280) 1857, Schrön 252) 1860, Gernerth 186) 1866, Gascó 227) 1884; dagegen blos, wenn die durch Erhöhung entstandene Ziffer 5 ist, z. B. Filipowski 302) 1849 u. F. G. Gauss 188) 1870, und zwar durch andere Gestalt der Endziffer von Prasse (kursiv), Filipowski (V statt 5), Gascò (fett gedruckt), beziehentlich durch einen Punkt unter oder neben der Endziffer Babbage, Sedlaczek (auch Steinhauser), durch einen Strich unter oder über der Endziffer oder durch dieselbe Schrön, Gauss, Gernerth. Jedenfalls ist unter sonst gleichen Umständen eine Tafel mit Erhöhungszeichen die wertvollere (vgl. Nr. 24, insbes. Anm. 190). Auf einen höheren Standpunkt stellt sich N. E. Lomholt 242), indem er die letzte Ziffer so wählt, dass bei allen mittelst der Tafel gefundenen Logarithmen (einschl. der durch Interpolation erhaltenen) die durchschnittliche Abweichung von ihrem wahren Wert ein Minimum wird.
„Ueb. die Genauigkeit logarithm. Rechnungen“, Berlin 1888 (Bremiker’s Unters, fortgesetzt; insofern nicht abgeschlossen, als noch ein Unterschied zwischen Theorie u. Wirklichkeit besteht). Dass (bei belieb. Tafeln u. Differenzen aller Ordnungen) die Tafeldifferenzen den wahren Differenzen beim Interpoliren vorzuziehen sind, zeigt J. Lefort, Edinb. Roy. Soc. Proc. 8 (1875), p. 602.
Bis in die neueste Zeit ist der Irrtum verbreitet gewesen, die von J. Neper in seiner „Mirifici logarithmorum canonis descriptio“ 1614 veröffentlichten Logarithmen der Sinus seien natürliche, weshalb letztere vielfach Nepersche Logarithmen genannt werden; jedoch hat G. Kewitsch [Zeitschr. math. naturw. Unterr. 27 (1896), p. 321, 577] nachgewiesen, dass Neper’s Logarithmen der Basis \( \frac{1}{e} \) entsprechen, während die Basis e den „roten“ (weil rot gedruckten) Zahlen in Joost Bürgi’s „arithm. u. geometr. Progress-Tabulen...“, Prag 1620, zukommt.
Z. B. Zinseszins-u. Amortisationsrechnungen [s. Thoman 288), p.24 flg.], zur Prüfung mancher Sätze der höheren Arithmetik [vgl. Gray 278)] u. s. w.; vgl. noch G. Govi, Rapport sur l’utilité des tables de logarithm. à plus de sept décim., Tor. Atti 8 (1872/73), p. 163.
Geschichte dieser Methode (mit wenig Lücken) bei A. J Ellis, Lond. Roy. Soc. Proc. 31 (1881), p. 398 flg., Postscript (Atwood betr.) 32 (1881), p. 377. Da es mindestens 25 Tafeln dieser Art giebt, können oben nur die wichtigsten genannt werden.
Hilfstafeln zur präzisen Berechnung 20-stelliger Logarithmen..., Wien 1880. Prüfungen durch J. Perott [Darboux’ Bulletin (2)11 (1887), p. 51)].
J. Blater [s. F. C. Lukas, Ehrenzweig’s Assekuranz-Jahrbuch 20 (1899), p. 69, 73] u. a. haben zahlreiche Fehler ergeben.
Dieselben Kurven will A. Raabe, Wien. Ber. 63 (1871), 2. Abt., p. 733, benätzen (die Arbeit enthält keinen Fortschritt). — Manchmal ist es besser (Scheffler p. 103), X in Komponenten senkrecht und parallel zur Strecke ox zu zerlegen und die beiden Kurven zu konstruieren, für die je eine dieser Komponenten verschwindet, wobei man den Punkt x in Strahlen durch den Nullpunkt sowie in Kreisen um den Nullpunkt sich bewegen lassen wird. — Geometrisch handelt es sich darum, bei der durch die Gleichung X = f(x) definierten konformen Abbildung (III D 6 a) der Ebene der x auf die Ebene der X in der ersten Ebene die Punkte zu bestimmen, welche sich in den Nullpunkt der zweiten Ebene abbilden; offenbar kann Scheffler’s Gedanke auch bei beliebigen (nicht konformen) Abbildungen Verwendung finden, während andererseits bei der Auflösung komplexer Gleichungen die Eigenschaften der konformen Abbildungen ausgenützt werden können.
Assoc. Ingén. sortis des écoles spéciales de Gand Ann. 11 (1887/1888), p. 91. — Die „méthode de fausse position“ verwendet auch G. Fouret, Par. C. R. 80 (1875), p. 550; Ass. franç. Bull. Nantes 3 (1875), p. 93; „Favaro-Terrier“ p. 224, aber nur für eine besondere, durch Rechnung herzustellende Form der Gleichungen, ebenso J. C. Dyxhoorn, Instituut van Ingen. Tijdschr. 1885/86, 2, p. 124, dessen für n = 4 gegebene Methode Van den Berg 380) p. 251 verallgemeinert.
R. Mehmke, Civilingenieur 35 (1889), p. 617. Sie nähert sich der positiven Abscissenaxe und der Halbierenden des Winkels zwischen positiver Ordinaten-und negativer Abscissenaxe asymptotisch (eine weitere Eigenschaft folgt aus der Yertauschbarkeit der Punkte a und b); sie ist das logarithmische Bild (Nr. 41) der Funktion z = 1 + 1: x und lässt sich als graphische Darstellung der Additionslogarithmen in der ursprünglichen Leonelli–schen Gestalt (s. Nr. 30) betrachten.
Mehmke, Zeitschr. Math. Phys. 35 (1890), p. 178; die Subtraktionskurve liefert zur Abscisse log t die (negative) Ordinate log (1 − 1:t) oder sie ist das logarithmische Bild der Funktion z = 1 − 1: x; sie nähert sich der positiven Abscissen-und der negativen Ordinatenaxe asymptotisch und ist symmetrisch zur Halbierenden des Winkels zwischen letzteren.
Mehmke, Zeitschr. Math. Phys. 35 (1890), p. 174.
E. Gelcich bespricht, Central-Zeitung Optik Mechanik 5 (1884), p. 242, 254, 268, 277, zahlreiche „Diagramme“ und „Diagramminstrumente“ zum Gebrauch der Seeleute, die vom 16. Jahrhundert an bis zur Gegenwart konstruiert worden sind; s. auch v. Braunmühl 414), p. 138 und Fig. 35 (Instrument von Peter Apian zur Bestimmung des Sinus und Sinus versus eines gegebenen Winkels, 1534), ferner p. 228 (Adriaen Metius’ graphisch-mechanische Lösung sphärischer Dreiecke). Mangels genügender Beschreibungen der älteren graphischen Tafeln lässt sich vorderhand nicht sagen, welche der jetzt bekannten allgemeinen Methoden darin schon zu erkennen sein mögen.
Nach einer Bemerkung von Blum, Ann. ponts chaussées (6)1 (1881), p. 455.
Die Ausführung aller gewöhnlichen Rechnungsarten mittelst eines, mit Einteilung versehenen Kegelschnittes zeigt u. a. L. Kotányi, Zeitschr. Math. Phys. 28 (1882), p. 248.
D’Ocagne verwendet sie ausschliesslich (Adler 470) sog. Plücker’sche Koordinaten); in die Geometrie sind dieselben (s. F. Rudio, Zeitschr. Math. Phys. 44 Supplem. 1899, p. 385) von W. Unverzagt eingeführt worden (Über ein einfaches Koordinatensystem der Geraden, Progr. Realgymn. Wiesbaden 1870/1871); den entsprechenden Begriff der Raumgeometrie (Parallelkoordinaten einer Ebene) hatte bereits Chasles 1829 (s. Correspondance de Quetelet 6, p. 81) gelegentlich benützt (III B 2).
Betreffs der zahlreichen Anwendungen, die von der Methode der fluchtrechten Punkte schon gemacht worden sind, sei ausser auf d’Ocagne, Pesci, Soreau verwiesen auf Mehmke, Ann. Phys. Chemie (2)41 (1890), p. 892 u. Taf. VII; Centralblatt Bauverwaltung 1890, p. 418; Dyck’s Katalog, Nachtrag, München 1893, p. 9, 19; Zeitschr. Math. Phys. 44 (1899), p. 56 u. Taf. I-III; H. Maurer, Graphische Tafeln für meteorologische und physikalische Zwecke, Diss. Strassburg 1894, Goedseels 484); ferner auf den Bericht von d’Ocagne, Eevue générale des sciences 9 (1898), p. 116, sowie auf G. Pesci, Periodico di Matematica (2) 2 (1899–1900), p. 201; d’Ocagne, Par. C. R. 130 (1900), p. 554; E. Suttor, Louvain Union Ingén. Mém. 1900, p. 223, 1901, p. 3. — Dass die Methode auch bei empirischen Funktionen gelegentlich anwendbar und nützlich ist, sieht man aus den Beispielen „d’Ocagne“, p. 203, 206, 207 (von M. Beghin, Lafay, Bateau).
Graphisch-mechanischer Apparat zur Auflösung numerischer Gleichungen, Stuttgart 1885 (auch eine französische Ausgabe). Der Apparat besteht aus einer Tafel mit einer Schar gleichseitiger Hyperbeln und einer auf Gelatine gedruckten Parabel; er dient zur Auflösung quadratischer und kubischer Gleichungen. Später hat Reuschle gezeigt, Zeitschr. Math. Phys. 31 (1886), p. 12, dass mit demselben Apparat auch biquadratische Gleichungen (mittelst der gemeinsamen Tangenten der Parabel und einer Hyperbel) gelöst werden können.
Mehmke, Civilingenieur 35 (1889), p. 629.
Mehmke, Zeitschr. Math. Phys. 35 (1890), p. 184.
Man denkt sich etwa bei jeder gegebenen Zahl das Komma vorläufig hinter die erste geltende Ziffer gesetzt („Normalwert“ bei Schneider, „Nombre primordial“ bei de Perrodil a. a. O.); die Stellung des Kommas im Ergebnis wollen manche durch rohe Schätzung seines Wertes bestimmen (s. z. B. R. Land, Centralblatt Bauverwaltung 13 (1893), p. 174 und „Hammer“ p. 24), andere geben mehr oder weniger ausführliche Regeln, wobei sie entweder mit den Stellenanzahlen rechnen (z. B. Lalanne, Sella, Esmarch), oder mit den (um Eins kleineren) Kennziffern der zu den Zahlen gehörigen Logarithmen (z. B. v. Ott, de Perrodil).
Durch ein indirektes Verfahren. E. Bour, Par. C. R. 44 (1857), p. 22, stellt die Form y 3 ± y 2 = y 2(y ± 1) = a her; ihr entsprechend hat man bei verkehrt eingeschobener Zunge die 1 von 0 unter die Stelle a von A zu bringen, die Zahlen von A in Gedanken um 1 zu vermindern bezw. zu vermehren und dann die Stelle zu suchen, an der auf jenen beiden Skalen sich gleiche Zahlen finden. Fall der quadratischen Gleichung von Bour nicht näher ausgeführt, dagegen bei „Favaro-Terrier“ 2, p. 90 (mit A und B); damit verwandte Methode (mit A und B) von W. Engeler durch E. Hammer mitgeteilt, Zeitschr. Vermessungsw. 29 (1900), p. 495; verbesserte Regel von H. Zimmermann, ebenda 30 (1901), p. 58. Vgl. auch Nr. 52, Anm. 585.
Scharfe und genaue Teilungen vorausgesetzt, in mässigen Grenzen auch beim gewöhnlichen Schieber möglich durch Anwendung einer Lupe, s. Jordan, Zeitschr. Vermessungsw. 21 (1892), p. 376.
Handbuch der Vermessungskunde, 2, p. 134, Fig. 6, und durch die von O. Seyffert, Centralblatt Bauverwaltung 8 (1888), p. 548 vorgeschlagene nonienartige Ablesung.
S. H. van Hyfte, Instruction sur la règle à calcul à deux réglettes de E. Péraux..., Paris 1885 [erste Mitteilung von Benoît, Soc. d’encouragem. Bull. (2)10 (1863), p. 513]. Zwei Schieber in zwei Kulissen (auf derselben Seite des Stabes), auf deren Ränder die beiden Stücke einer Skala von der doppelten Länge des Stabes, einmal wiederholt, verteilt sind.
S. J. Bertillon, La Nature 6 (1878), p. 31; Dyck’s Katalog, p. 142, Nr. 10. Bei der in Fig. 64 abgebildeten Konstruktion von Stanley ist für die vollen Umdrehungen des beweglichen Zeigers, d. h. für die Änderungen der Kennziffer ein besonderer Zeiger vorhanden, vgl. Anm. 572.
S. Zeitschr. Yer. deutscher Ing. 21 (1877), p. 455 und Abb. auf Taf. 23. Die hauptsächlich benützte Skala 45,5 cm lang, ausserdem Skalen für Quadrate, Kuben, sin, tg u. s. w. Über eine Rechenscheibe von Herrmann mit einer 5 m langen gebrochenen (auf 10 konzentrische Kreise verteilten) Skala s. „Vogler“ p. 50.
Neuere Konstruktion ist der cercle à calcul von P. Weiss, s. Par. C. R. 131 (1900), p. 1289 (einzige Skala etwa 50 cm lang).
Genannt seien von den neueren die Rechenscheibe von F. M. Clouth (Anleitung zum Gebrauch der Rechenscheibe..., Hamburg 1872, s. auch Dyck’s Katalog, Nachtrag, p. 3, Nr. 11 d) mit Lupe am Zeiger, der „Proportior“ von W. Hart, s. Techniker 12 (1889/1890), p. 34, ebenfalls mit Zeiger und Mikroskop.
F. A. Meyer’s Taschen Schnellrechner, s. Mechaniker 5 (1897), mit einfachem Kennzifferzählwerk, die Rechenscheibe mit Glasläufer und Lupe von E. Puller, Zeitschr. Archit. Ingenieurw., Heft-Ausg. (2)5 (1900), p. 203, Zeitschr. Vermessungsw. 30 (1901), p. 296. In München war 1893 eine Rechenscheibe von A. Steinhauser mit zu (logarithmischen?) Spiralen erweiterten Kreisen ausgestellt (vgl. Dyck’s Katalog, Nachtrag, p. 3, Nr. 11c), bei der vier Stellen unmittelbar abgelesen werden konnten.
Notwendige und ausreichende Bedingung s. Anm. 443. Ist dieselbe nicht erfüllt, so wird man sich vielleicht mit einer angenähert richtigen Darstellung begnügen; hiermit hat sich A. Lafay, Rev. d’Artillerie 58 (1901), p. 455 beschäftigt.
S. W. Semmler, Zeitschr. Vermessungsw. 28 (1899), p. 304.
S. H. Koller, Zeitschr. Vermessungsw. 28 (1899), p. 660. Alle vier Spezies können in beliebiger Reihenfolge ausgeführt werden. Urn z. B. das Produkt a · m zu einer etwa schon im Zählwerk Z stehenden Zahl zu addieren, hebt man den Cylinder L von der Rolle R ab, führt ihn auf die Ablesung 0 der Skala A zurück, stellt den Stift S auf die Zahl m der Skala M und führt den Cylinder L über die Rolle hinweg, bis der Faktor a auf der Skala A erscheint. Verallgemeinerung durch Anbringen beliebiger Skalen neben den gewöhnlichen.
Das Altertum kannte schon eine mechanische Lösung des Delischen Problems, also einer reinen kubischen Gleichung, welche Plato zugeschrieben wird (s. Cantor’s Vorles. üb. Gesch. d. Mathem. 2, 2. Aufl., p. 214, 219) und auf der Anwendung zweier beweglicher rechter Winkel beruht; sie kann mit Hülfe des Lill’schen Verfahrens (s. Nr. 38, p. 1011) leicht auf vollständige kubische Gleichungen ausgedehnt werden, vgl. A. Adler, Wien. Ber. 992 (1890), p. 859. Für beliebige algebraische Gleichungen hat Lill selbst einen Apparat zur leichteren Anwendung seiner Methode gegeben, s. Nouv. Ann. math. (2) 6 (1867), p. 361, G. Arnoux (der die Methode sich zuschreibt) optische und mechanische Hülfsmittel dazu vorgeschlagen, Ass. franç. 202, Marseille 1891, p. 241; Soc. Math. France Bull. 21 (1893), p. 87. Über einen auf dieselbe Metbode gegründeten zwangläufigen Mechanismus s. Wehage 593), Fig. 6.
Memoria sobre las máquinas algébricas, Bilbao 1895, s. auch Par. C. R. 121 (1895), p. 245; Ass. franç. 242, Bordeaux 1895, p. 90; Par. C. R. 130 (1900), p. 472, 874; ferner M. d’Ocagne, Génie civil 27 (1895/96), p. 179. Diese Maschinen nehmen dieselbe Stellung ein, wie im graphischen Rechnen die logarithmographische Methode (Nr. 40–42), da jede Veränderliche durch einen „Arithmophor“, s. Fig. 75, dargestellt wird, dessen Drehungen den log der Werte der Veränderlichen proportional sind (die Scheibe rechts giebt die Kennziffern der Logarithmen). Alle Mechanismen zwangläufig und „ohne Ende“. Wie bei jedem logarithmischen Verfahren Multiplikation und Potenzierung am leichtesten; zur Addition dient das Element Fig. 76, welches hier dieselbe Rolle spielt, wie im graphischen Rechnen die Additionskurve oder Brauer’s logarithmischer Zirkel (s. p. 1019). Die Maschine Fig. 77 ist für trinomische Gleichungen bestimmt.
Weglassen der Ziffer 0 oder 9, Verwechslung von 0 mit 9 und Vertauschung zweier Ziffern bleiben unentdeckt. Die Vertauschung von Ziffern kommt besonders leicht beim Lesen von Zahlen auf deutsche Art vor, weshalb schon, z. B. von W. Förster in dem Vorwort zu F. Vermung, Die reduzierten Quersummen, Eberswalde 1886, den deutschen Rechnern empfohlen worden ist, die Zehner stets vor den Einern auszusprechen. Über die Tragweite der Neunerprobe bei Kenntnis der subjektiven Genauigkeit des Rechners s. F. Hofmann, Zeitschr. Math. Phys. 34 (1889), p. 116.
C. J. Hill hat J. f. Math. 70 (1869), p. 282 gezeigt, wie mit geeigneten Tafeln der Indices (s. I C 1, Nr. 4) die letzten Ziffern von Produkten, Potenzen u. s. w. gefunden werden können (ähnlich wie die ersten Ziffern mit Logarithmen), welche Tafeln man deshalb beim Rechnen mit grossen Zahlen zur Ergänzung der Logarithmentafeln gebrauchen kann.
Vgl. bezüglich der Ausführung mit Logarithmen etwa J. C. Houzeau, Brux. Bull. (2)40 (1875), p. 74 („multiplication mixte“, s. dort auch die „multiplication sommaire“, ferner die „division mixte“, bei welcher der Quotient mit Logarithmen in einzelnen Teilen bestimmt wird), mit dem Rechenschieber Esmarch a. a. O. (s. Litt. zu Nr. 50), p. 121; van Hyfte 564), p. 46; ferner über die Verbindung logarithmischer Rechnung mit Reihenentwicklung, z. B. beim Ausziehen höherer Wurzeln, Houzeau a. a. O., „Lüroth“, p. 162.
Neuerdings besonders in der Geodäsie, s. etwa G. Höckner, Über die Einschaltung von Punkten in ein durch Koordinaten gegebenes trigonometrisches Netz mit ausgiebiger Verwendung einer Rechenmaschine, Leipzig 1891; C. Runge, Zeitschr. Vermessungsw. 23 (1894), p. 206.
H. Sossna, Zeitschr. Vermessungsw. 25 (1896), p. 361.
W. Jordan, Opus Palatinum..., Hannover 1897, Vorwort.
F. Schuster, Zeitschr. Vermessungsw. 29 (1900), p. 488 (Vergleich der erforderlichen Zeiten: in einem Beispiel Logarithmen 15 Stunden, Rechenmaschine 6 Stunden).
O. Koll, Die Theorie der Beobachtungsfehler und die Methode der kleinsten Quadrate..., 2. Aufl., Berlin 1901.
F. G. Gauss, Fünfstellige vollständige trigonometrische und polygonometrische Tafeln für Maschinenrechnen..., Halle 1901. E. Hammer hat, z. B. Lehrbuch der ebenen und sphärischen Trigonometrie..., 2. Aufl., Stuttgart 1897, p. 561.
Zeitschr. Vermessungsw. 31 (1902), p. 207, davor gewarnt, in den andern Fehler zu verfallen, nämlich die Vorzüge des Maschinenrechnens gegenüber dem logarithmischen zu überschätzen, wenigstens solange die eigentlichen Multiplikationsmaschinen (s. Nr. 18 u. 53) nicht weiter ausgebildet und leichter zugänglich sind. C. V. Boys, The Nature 64 (1901), p. 268, verlangt allgemein, mit Logarithmen oder mit der Maschine zu rechnen, je nachdem die erste oder zweite der obigen Formen vorliegt bezw. leichter herzustellen ist, jedoch können die Verhältnisse gerade umgekehrt liegen, als es bei oberflächlicher Betrachtung den Anschein hat.
vgl. Hoüel, Arch. Math. Phys. 3 (1872), p. 377.
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Mehmke, R. (1904). Numerisches Rechnen. In: Meyer, W.F. (eds) Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-16019-9_14
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