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Rationale Funktionen Mehrerer Veränderlichen

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Arithmetik und Algebra

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Zusammenfassung

Hinsichtlich der Litteratur muss auf die beim vorigen Abschnitte aufgeführten Werke verwiesen werden; speziell für rationale Funktionen mehrerer Variablen giebt es keine Monographien.

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Litteratur

  1. Aus der Nichtberücksichtigung dieses Umstandes folgt das Euler’sche Paradoxon. L. Euler, Berl. Mém. 1748, p. 219 schliesst z. B., dass durch 9 Punkte einer Ebene stets eine und nur eine Kurve dritter Ordnung gelegt werden könne; dies stehe dann im Widerspruch zu dem Umstande, dass zwei Kurven dritter Ordnung sich in 9 Punkten schneiden (Nr. 6). Vgl. auch G. Cramer, Analyse etc. § 48, p. 78; C. G. J. Jacobi, J. f. Math. 15 (1836), p. 285 = Werke 3, p. 329. Das Paradoxon löst sich sofort, wenn man das Verschwindet) jener Determinante aus Potenzprodukten der Koordinaten beachtet.

    MATH  Google Scholar 

  2. Über die Zerlegbarkeit bei m = 2 vgl. S. H. Aronhold, J. f. Math. 55 (1858), p. 97

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  3. F. Brioschi, Ann. di mat. (2) 7 (1875/76), p. 189

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  4. A. Thaer, Math. Ann. 14 (1879), p. 545. Die Frage nach den Bedingungen des Zerfallens, sowie nach den Faktoren der zerfällbaren Formeln wird mit Hülfe der Theorie der symmetrischen Funktionen mehrerer Grössenreihen von Fr. Junker behandelt, Math. Ann. 45 (1894), p. 1, der an Untersuchungen von A. Brill, Gött. Nachr. Dez. 1893, p. 757 anknüpft. Das gleiche Problem behendelt P. Gordan, Math. Ann. 45 (1894), p. 410, unter Verwendung gewisser Differentialprozesse, besonsers für ternäre Formen. Vgl. weiter Brill, Math. Ann. 50 (1898), p. 157; ferner J. Hadamard, Bull, soc. math. 27 (1899), p. 54

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  5. J. Molk, Acta math. 6 (1885), p. 1; H. Weber, Algebra 1; Netto, Algebra 2, 1.

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  6. J. J. Sylvester’s „logic of characteristics“, Cambr. Dubl. Math.J. 6 (1851), p. 186

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  7. bewiesen von O. Hölder, Böklen math. nat Mitt, 1 (1884), p. 60

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  8. von Weber, Netto. — Über die Reduktibilität vgl. den eingehenden Aufsatz von W. Fr. Meyer, Math. Ann. 30 (1887), p. 30, in welchem es sich um die Lösung folgenden Problems handelt: Sind f 0(λ),... f d(λ) linear unabhängige, ganze F. von λ, so sollen die Grössen u 0,... u d als gz. F. von n Variabein μ1, μ2,... μn so bestimmt werden, dass u 0 f 0 + u 1 f 1 +... + u d f d reduktibel in wird. Siehe auch W. Fr. Meyer, Münch. Ber. 1885, p. 415.

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  9. Vgl. M. Noether, Math. Ann. 6 (1872), p. 351

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  10. E. Bertini, ib. 34 (1889), p. 450

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  11. E. Netto, Acta math. 7 (1885), p. 101

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  12. D. Hilbert, Math. Ann. 42 (1892), p. 320.

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  13. Vgl. C. Schmidt, Zeitschr. f. Math. 31 (1886), p. 214, wo nachgewiesen wird, dass dieser Schluss nicht ohne weiteres richtig ist, und wo eine Ergänzung desselben geliefert wird.

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  14. J. f. Math. 81 (1841), p. 178; ibid. 31 (1846), p. 1; L. J. Magnus, Zeitschr. f. Math. 26 (1843), p. 365

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  15. E. F. A. Minding, Zeitschr. f. Math. 27 (1844), p. 379.

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  16. Diesen Begriff hat der Sache wie dem bezeichnenden Worte nacl G. Frobenius eingeführt. Er hat seine Bedeutung bereits J. f. Math. 82 (1877), p. 290, § 3 „über lineare Gleichungen u. alternierende bilineare Formen“ ins rechte Licht gertickt. Die Bezeichnung „Rang“ ist von ihm zum ersten Male ib. 86 (1879), p. 1 benutzt: „Wenn in einer Determinante alle Unterdeterminanten (m + 1)ten Grades verschwinden, die m ten Grades aber nicht sämtlich Null sind, so nenne ich m den Rang der Determinante.“ — Kronecker hat (Berl. Ber. 1884, p. 1071, 1179) diesen von Frobenius bereits mehrfach durchgearbeiteten Begriff übernommen. Hiernach ist die Bemerkung I A 2, Nr. 24 nebst Anm. 91 richtig zu stellen. — J. J. Sylvester nennt Amer. J. of Math. 6 (1884), p. 271, Lect. 1 eine Determinante n ter Ordnung, bei der alle Subdeterminanten (n − i + 1)ter Ordnung verschwinden, aber nicht alle der (n − i)ten Ordnung, eine Determinante von der „Nullität“ (nullity) i.

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  17. Kronecker behandelt die linearen Kongruenzen ähnlich, J. f. Math. 99 (1886), p. 340.

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  18. H. Laurent, Traité d’analyse, Paris 1885, 1, p. 305.

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  19. Jacobi, J. f. Math. 22 (1841), p. 319 = Werke 3, p. 393.

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  20. J. L. F. Bertrand, J. de math. 16 (1851), p. 213. [Der Satz wird von „Genocchi-Peano“, dtsch. Ausg. (s. II A 2), Anm. zu Nr. 122, p. 329 angefochten.]

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  21. Hesse, J. f. Math. 28 (1844), p. 68 = Werke, p. 87.

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  22. Clebsch, J. f. Math. 69 (1868), p. 355; ibid. 70 (1869), p. 175 wird auf Grund einer Mitteilung von Gordan die Grösse M bestimmt.

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  23. Hesse, J. f. Math. 29 (1844), p. 68; die Engländer bezeichnen sie nach Cayley (Phil. Transact. 146 [1856], p. 627 = Coll. Pap. 2, p. 627) als Hessian. Vgl. auch J. J. Sylvester, Cambr. Dubl. M. J. 6, 1851, p. 194.

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  24. Von der reichhaltigen, hierher gehörigen Litteratur führen wir an: Hesse, J. f. Math. 28 (1844), p. 68 u. 97 = Werke p. 89, 123; ibid. 38 (1849), p. 257 = Werke p. 211; ibid. 40 (1850), p. 316 = Werke p. 257 (Brief an Jacobi nebst Antwort); ibid. 41 (1851), p. 272 = Werke p. 263; Clebsch, J. f. Math. 58 (1861), p. 229; Cayley, J. f. Math. 34 (1847), p. 30 = Coll. Pap. 1, p. 337; Clebsch-Lindemann, Geometrie 1, p. 176, 191, 206 u. s. w.

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  25. A. Harnack, Math. Ann. 9 (1876), p. 371; vgl. Clebsch-Lindemann, Vorles. üb. Geom. 1, p. 826.

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  26. Berl. Ber. 1869, p. 159 u. 688; ibid. 1878, p. 145. Über die weitere analytische Ausbildung der Theorie vgl. E. Picard, J. de math. (4), 8 (1892), p. 5; Par. C. R. 113 (1891), p. 356, 669, 1012

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  27. W. Dyck, Par. C. R. 119 (1894), p. 1254; ibid. 120 (1895), p. 34; Münch. Ber. 1898, p. 203. Vgl. I B 3 a.

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  28. D. André, Bull. soc. math. 24 (1896), p. 135.

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  1. Giessen, Deutschland

    E. Netto

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  1. E. Netto
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  1. Königsberg i. Pr., Deutschland

    Wilhelm Franz Meyer

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© 1898 Springer Fachmedien Wiesbaden

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Netto, E. (1898). Rationale Funktionen Mehrerer Veränderlichen. In: Meyer, W.F. (eds) Arithmetik und Algebra. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-16017-5_8

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