Zusammenfassung
Die Theorie der gemeinen complexen Grössen bildet die Grundlage mehrerer der wichtigsten Zweige der Analysis, namentlich der Algebra und der Funktionentheorie. Sie wird daher in allen Lehrbüchern dieser Disciplinen, wie auch in den besseren Lehrbüchern der Infinitesimalrechnung abgehandelt. Wegen der grossen Zahl dieser Werke müssen wir auf eine Zusammenstellung ihrer Titel verzichten. In der Darstellung der Theorie selbst beschränken wir uns auf die ersten Elemente, und verweisen wegen weiterer Entwickelungen auf die Abschnitte I B und II B der Encyklopädie, ferner wegen specieller geometrischer und anderer Anwendungen auf die Artikel III A 7, III B 3 und III D 5, endlich auf die Bände IV und V. —
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Litteratur
Wegen der Geschichte der Theorie des Imaginären s. H. Hankel, Theorie der complexen Zahlensysteme (Lpz. 1867), Abschnitt V. E. Kossak, Elemente der Arithmetik (Progr. Berl. Friedr. Werd. Gymn. 1872). R. Baltzer, J. f. Math. 94 (1883), p. 87. L. Janssen van Raay, Arch. Teyler 4 (1894), p. 53. A. Ramorino, Giorn. di mat. 35 (1895), p. 233.
Cauchy, Exercises d’analyse et de physique math. 4 (1847), p. 84.
Vgl. hierzu E. Study, Gött. Nachr. 1889, p. 237; die obigen Begriffsbildungen und Problemen zu Grunde liegende Anschauungsweise rührt von S. Lie her [II A 6]; das Kriterium der Reducibilität von G. Scheffers, Math. Ann. 39 (1891), p. 293. Dort wird der Begriff des Typus etwas anders gefasst, als im Texte, aber ebenso wie hier bei S. Lie u. Scheffers, Cont. Gruppen, Leipzig 1893.
Obige Ausdrucksweise braucht Scheffers a. a. O. Die Operation selbst ist schon von W. K. Clifford in ausgedehntem Masse verwendet worden: Am. J. of Math. 1 (1878), p. 350 — Math. Papers (London 1883) Nr. 30. Vgl. dazu H. Taber, Am. J. of Math. 12 (1890), p. 337, insbesondere § 25. Die zuletzt genannte Abhandlung ist besonders geeignet zur Orientierung über die eigentümliche Anschauungsweise und Terminologie der englisch-amerikanischen Mathematiker.
S. Pincherle nach Vorlesungen von Weierstrass, Giorn. di mat. 18 (1880) p. 205, wo allerdings das dritte System nicht ausdrücklich aufgeführt wird und A. Cayley, Lond. Math. Proc. 15 (1883–84), p. 185.
E. Study, Gött. Nachr. 1889, p. 237. Monatsh. f. Math. 1 (1890), p. 283. Verwandte Untersuchungen hatte bereits 1870 B. Peirceangestellt: Am. J. of Math. 4 (1881), p. 97. Indessen ist dieser Autor nicht zu einer erschöpfenden Aufzählung der Systeme mit drei und vier Einheiten gelangt.
Die Zusammensetzung der Matrices ist so alt, als die Theorie der linearen Transformationen selbst; das obige specielle System complexer Grössen tritt auf, wo immer man es mit linearen Transformationen zu thun hat. Das Wesentliche in der im Text dargelegten Auffassung liegt aber darin, dass der ganze Complex von n 2 Grössen a ix als etwas Einheitliches angesehen und durch ein solches Zeichen dargestellt wird, das dem distributiven und associativen Gesetz der „Multiplikation“ einen formal einfachen und leicht zu handhabenden Ausdruck verleiht. Diese Auffassung findet sich angedeutet schon bei Hamilton (Lectures), klar und deutlich bei Cayley (Lond. Trans. v. 148 [1858], 1859, p. 17 = Coll. Math. Papers 2, p. 475); Cayley muss daher wohl als Begründer dieser Theorie angesehen werden. Nach Cayley haben viele Mathematiker sich derselben Begriffsbildungen bedient. Für uns kommen insbesondere in Betracht Arbeiten von Edm. Laguerre (Ec. Polyt. t. 25, 1867, p. 215), G. Frobenius J. f. Math. 84, 1878, p. 1 — die gründlichste Untersuchung über diesen Gegenstand —), Sylvester (Johns Hopkins Circular, Baltimore 1883, Nr. 27, 1884, Nr. 28; Am. J. of Math. 6, 1884, p. 270), Ed. Weyr, (Monatsh. f. Math. 1889, p. 187) und H. Taber (Am. J. of Math. 12, 1890, p. 337; 13, 1891, p. 159). Da die genannten Autoren zum Teil unabhängig von einander gearbeitet haben, so haben die Hauptsätze in dieser Theorie mehrere Entdecker.
Laguerre a. a. O. p. 230. Cayley, Math. Ann. 15 (1879), p. 238. B u. C. S. Peirce, Am. J. of Math. 4 (1881); Johns Hopkins Circ. Nr. 22 (1883). Cyp. Stéphanos, Math. Ann. 22 (1883), p. 299.
Dieser Hauptsatz der Theorie ist von Cayley (a. a. O.) behauptet und an einem Beispiel (n=3) verificiert worden. Bewiesen haben ihn Laguerre, Frobenius, Ed. Weyr u. If. Taber (s. Anmerk. 19), ausserdem M. Pasch (Math. Ann. 38, 1891, p. 48), A. Buchheim (Lond. M. S. Proc. 16, 1885, p. 63), Th. Molien (Math. Ann. 41, 1893, p. 83), endlich Frobenius, Berl. Ber. 1896, p. 601. Der principiell einfachste Beweis ist der zweite von Frobenius.
Frobenius, J. f. Math. 84 (1878), p. 59. C. S. Peirce, Am. J. of Math. 4 (1881), p. 225.
Zuerst bemerkt von H. Poincaré: Par. C. R. 99 (1884), p. 740. Vgl. zu dieser Arbeit Lie u. Scheffers a. a. O. p. 621.
Z. T. nach Cayley, J. f. Math. 50 (1855), p. 312 = Coll. Math. Papers 2, p. 214. Vgl. auch F. Klein. Math. Ann. 37 (1890), p. 544.
Euler, Novi Comm. Petrop. 20, p. 217. O. Rodrigues, Journ. de Math. 5 (1840), p. 380. Cayley, Phil. Mag. 26 (1845), p. 141 = Coll. Math. Pap. 1, p. 123.
S. die genauere Formulierung bei Study, Math. Papers from the Chicago Congress, New York 1896, p. 376. Vgl. auch H. Burkhardt, „Über Vectoranalysis“, Deutsche Math.-Vrg. 5 (1896), p. 43, sowie Klein und Sommerfeld, Theorie des Kreisels, Leipzig 1897, I § 7.
Chicago Papers a. a. O. Study, Math. Ann. 39 (1891), p. 514.
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Study, E. (1898). Theorie der Gemeinen und Höheren Complexen Grössen. In: Meyer, W.F. (eds) Arithmetik und Algebra. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-16017-5_4
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