Endliche Gruppen Linearer Substitutionen

Zusammenfassung

Die endlichen Gruppen linearer Substitutionen spielen jetzt für die Algebra und die Theorie der algebraisch integrierbaren linearen Differentialgleichungen sowie auch gerade bei den schönsten und merkwürdigsten geometrischen Konfigurationen eine besonders wichtige Rolle. Ehe noch eine eigentliche Theorie anfing, kannte man doch von den fraglichen Gruppen zwei ausgedehnte Arten: die Gruppen von Buchstabenvertauschungen und die periodischen Substitutionen. Über die letzteren hat C. Jordan ¹) den Satz ausgesprochen, dass sie, falls die Periode μ ist, auf die kanonische Form: t _v = ω _v u _v (v = 1,... n), wo die ω _v μ^te Einheitswurzeln sind, gebracht werden können. Diese Bedingungen hat späterhin R. Lipschitz ²) so formuliert, dass die zugehörige charakteristische Determinante nur μ^te Einheitswurzeln als Wurzeln besitzt, und dass ihre sämtlichen Elementarteiler von der ersten Ordnung sein sollen [I B 2, Nr. 3]. Beweise für die Möglichkeit dieser Reduktion auf die kanonische Form haben Lipschitz ²) und Kronecker gegeben, sodann aber auch betreffend involutorische Substitutionen Prym und Cornely und für beliebige Periode Rost ³); die letzteren drei Verfasser haben dabei auch die zugehörigen Substitutionen durch eine geeignete Anzahl frei beweglicher Parameter rational dargestellt.