Integralrechnung

Zusammenfassung

Wie im Reellen kann man das Integrieren als die Umkehrung des Differenzierens erklären. Wenn

$$ \frac{{dJ(z)}} {{dz}} = f(z) $$

ist, so soll

$$ J(z) = \int f (z)dz $$

nur eine andere Schreibweise dieses Sachverhaltes sein. Um aber neben diesem unbestimmten auch das bestimmte Integral

$$ \int\limits_a^b f (z)dz $$

zu erklären, muß man tiefer schürfen. In dem bestimmten Integral sind a und b zwei beliebige Punkte eines Bereiches, in dem f(z) eindeutig und stetig erklärt sein möge. Was soll man unter dem von a bis b erstreckten Integral von f(z) verstehen? Was soll man namentlich unter dem Intervall von a bis b verstehen, das man unter Übertragung des im Beeilen üblichen Ansatzes der Näherungssummen in Teilintervalle Δz zerlegen könnte? Um zunächst überhaupt einmal eine Verbindung zwischen a und b herzustellen, wird nichts übrigbleiben, als eine a und b verbindende Kurve S heranzuziehen. Diese zerlegt man dann in Teilbogen durch Teilpunkte

$$ {z_0} = a,{z_1},{z_2}...{z_{n - 1}},{z_n} = b $$

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