Die Umkehrungsfunktion

Zusammenfassung

Die Stetigkeit der analytischen Funktion

$$ w = f(z) = {a_0} + {a_1}(z - a) + ... $$

lehrt, daß durch dieselbe die Umgebung von z = a auf eine Menge von Punkten abgebildet wird, die einer Umgebung von w = a ₀ angehören. Der naiven Auffassung liegt es nahe, zu glauben, daß diese Punktmenge eine volle Umgebung von w = a ₀ bedeckt. Wir wollen jetzt beweisen, daß diese Vermutung zutrifft. Ich stelle also folgenden Satz auf:

Wenn $w = f\left( z \right) = {a_0} + {a_k}{\left( {z - a} \right)^k} + \cdots$ in $\left| {z - a} \right| < r$ konvergiert, und wenn a_k ≠ 0 ist, wenn also f(z) − a₀ eine k-fache Nullstelle besitzt, so gibt es zwei Zahlen δ und ϱ derart, daß f(z) in $|z - a| < \delta$ jeden Wert aus |w − a₀| < ϱ genau k mal annimmt.