Zusammenfassung
Es sei eine räumliche Geometrie vorgelegt, in der die sämtlichen Axiome I–IV gelten; wir fassen der Einfachheit wegen in diesem Kapitel nur eine ebene Geometrie ins Auge, die in dieser räumlichen Geometrie enthalten ist, und untersuchen dann die Frage, welche elementaren Konstruktionsaufgaben (geeignete praktische Hilfsmittel vorausgesetzt) in einer solchen Geometrie notwendig ausführbar sind.
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Referenzen
Daß hier die Forderung des Abtragens für eine einzige Strecke genügt, ist von J. Kürschak bemerkt worden; vgl. dessen Note „Das Streckenabtragen“ Math. Ann. Bd. 55. 1902.
„Über die Theorie der relativquadratischen Zahlkörper“, Jahresbericht d. Deutschen Math.-Vereinigung Bd. 6, 1899 und Math. Ann. Bd. 51; ferner: „Über die Theorie der relativ-Abelschen Zahlkörper“, Nachr. d.K. Ges. d. Wiss. zu Göttingen 1898 und Acta mathematica Bd.26.
Der Beweis für die Darstellbarkeit von f(x) als Quotient zweier Quadratsummen ist von mir auf Grund des Satzes 43 in der ersten Auflage ausgeführt worden. Inzwischen ist es E. Landau gelungen, den Beweis für die Darstellbarkeit von f(x) direkt als Quadratsumme, wie oben behauptet, zu erbringen, und zwar lediglich mit Benutzung sehr einfacher und elementarer Hilfsmittel. Math. Ann. Bd. 57 (1903). Vgl. endlich die Arbeiten von Fleck, „Zur Darstellung definiter binärer Formen als Summen von Quadraten ganzer rationalzahliger Formen“, Arch. d. Math. u. Phys. R. III Bd. 10 (1906) und E. Landau, „Über die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate“, Arch. d.Math. u.Phys. R. III Bd. 7 (1904) und „Über die Darstellung definiter Funktionen durch Quadrate“, Math. Ann. Bd. 62 (1906), in denen die Frage nach der kleinsten Anzahl der Quadrate, die zur Darstellung von f(x) als Summe notwendig ist, behandelt wird; insbesondere in der letzteren Arbeit zeigt E. Landau, daß zu jener Darstellung jedenfalls acht Quadrate genügen, welches auch der Grad von f(x) sein möge.
„Über ternäre definite Formen“, Acta Mathematica Bd. 17.
Betreffs weiterer geometrischer Konstruktionen mittels Lineals und Eichmaßes vgl.M. Feldblum, „Über elementargeometrische Konstruktionen“, Inauguraldissertation, Göttingen 1899.
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Hilbert, D. (1922). Die geometrischen Konstruktionen auf Grund der Axiome I–IV. In: Grundlagen der Geometrie. Wissenschaft und Hypothese. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-15954-4_8
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-663-15954-4_8
Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden
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