Die Darstellung der Konformen Abbildung Mittels Komplexer Zahlen

Zusammenfassung

Während wir in den ersten beiden Abschnitten hauptsächlich geometrische Untersuchungen anstellten, wenden wir uns jetzt analytischen Überlegungen zu. Ein mächtiges Hilfsmittel der konformen Abbildung sind die imaginären oder komplexen Zahlen. Inder Schule treten uns die imaginären Zahlenzuerstbeider Auflösung der Gleichung zweiten Grades entgegen. Es sind zwei Fälle zu unterscheiden: Erstens können die Lösungen als reelle Zahlen angegeben, werden; im zweiten Falle hat man die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen, eine Aufgabe, die uns zur Einführung des Symbols

$$\sqrt { - 1}$$

zwingt. Der Name „imaginär“ für das Symbol i deutet an, daß den Mathematikern bei der Einführung dieser Größe recht unwohl zumute war. Man erzielte aber bald ungeahnte Erfolge mit den neuen Zahlen, und das Mißtrauen schwand. Man empfand gar nicht mehr die Notwendigkeit einer sicheren Grundlage, bis eines Tages eine unerlaubte Anwendung der imaginären Zahlen zu einem offensichtlich falschen Ergebnis führte. In dieser Hinsicht teilen die imaginären Zahlen das Schicksal fast aller bedeutenden mathematischen Entdeckungen.