Zusammenfassung
Ganze lineare Funktionen werden durch einen Ausdruck der Form w = az +b dargestellt. Dabei bedeuten a und b von z unabhängige Zahlen. Als spezielle Fälle sind darunter die folgenden drei Typen enthalten: w = Rz mit positiv reellem R, ferner w = αz mit |α| = 1, endlich w = z + b. Die erste führt jeden Punkt in einen anderen vom gleichen Argument in der R-fachen Entfernung vom Nullpunkt über. Deuten wir also w und z in derselben Ebene oder, anders ausgedrückt, legen wir die w-Ebene so auf die z-Ebene, daß Punkte mit gleichen w und z aufeinander zu liegen kommen, so führt diese Abbildung jede Figur in eine ähnliche zu ihr ähnlich gelegene über. Die Winkeltreue dieser Abbildung, die man auch Streckung nennt, springt in die Augen.
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Literatur
Auch geometrisch ist der Beweis leicht zu erbringen. Siehe z. B. M. Großmann: Darstellende Geometrie, Leipzig 1915, S. 47/48.
In der Tat kann man ja jede komplexe Zahl vom Betrag Eins als Quotient zweier konjugiert komplexer Zahlen darstellen. Ist nämlich
Bei der ersten Lektüre kann auch § 8 überschlagen werden. In diesem § 8 ist nur von schlichten, d. h. einblättrigen Bereichen die Rede.
Wir nehmen fortan stets an, daß sie durch den Punkt z = oo erweitert ist.
D. h. Teilmengen ohne gemeinsamen Punkt.
Denn seien Q,und Q2 zwei Punkte der Strecke, deren einer zu M l ,deren anderer zu M,gehört. Dann betrachte ich die zu M l gehörigen Punkte der Strecke Q, Q,. Unter diesen gibt es einen, P,dessen Entfernung von Q,ein Minimum ist. Somit können nicht alle ihm in J benachbarten Punkte zu M,gehören.
tinter dem Abstand zweier Mengen M 1 und M 2 versteht man die untere Grenze (bei abgeschlossenen Mengen das Minimum) der Abstände PQ für irgendein Punktepaar (P aus M 1 , Q aus]M 2 ). Vgl. auch S. 21, wo wir schon einmal in einen speziellen Fall den Begriff des Abstandes verwendet haben.
Darunter verstehe ich zwei je in sich zusammenhängende Mengen von Randpunkten, die aber nicht ein und derselben zusammenhängenden Menge von Randpunkten angehören.
Denn sonst gehörte das Polygoninnere oder das PolygonituBere ganz zu Bx,also auch ganz zu B im Gegensatz zu der Definition des Polygones.
Der Einheitlichkeit wegen mögen die dabei vorkommenden Abstände im stereographischen Kugelbild des Bereiches gemessen werden.
Vgl. Fig. 37. Daher ist die Abbildung durchweg gebietstreu. Eine Ausnahme machen nicht einmal die bei den Nullstellen von cos z gelegenen Pole. Pole sind das deshalb, weil dort stetig und analytisch ist. (Vgl. S. 49.)
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Dieses Kapitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieses Kapitel ist aus einem Buch, das in der Zeit vor 1945 erschienen ist und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
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Bieberbach, L. (1921). Studium einiger spezieller Funktionen. In: Lehrbuch der Funktionentheorie. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-15885-1_5
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-663-15885-1_5
Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden
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