Zusammenfassung
Für die Theorie der geordneten Mengen gilt dasselbe, was oben (S. 130) der Äquivalenztheorie vorangeschickt wurde.
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Um diese umkehrbar eindeutige Korrespondenz nachzuweisen, wonach also zu einer gegebenen Ordnung von m auch nur eine einzige Menge i? gehört, bedarf man aller vier Eigenschaften; in der Literatur fehlte bisher die vierte und zum Teil auch der auf den Durchschnitt bezügliche Teil der dritten Eigenschaft. — Es sei übrigens hervorgehoben, daß die Bevorzugung der Reste, d. h. der Endstücke der Menge, natürlich willkürlich ist und sich nur an die historische Entwicklung anschließt; man könnte statt dessen ebensogut die Anfangsstücke (Abschnitte) betrachten, und dies ist für die Theorie der Wohlordnung in der Tat praktischer.
Für eine allgemeine Methode, den Gebrauch der unendlichen Ordnungszahlen zu vermeiden, vgl. Kuratowski 2.
Von Dedekind stammt noch eine weitere, den Begriff der „Kette“ benutzende Definition der Endlichkeit.
Dort zunächst nicht als Definition, sondern als Satz eingeführt; die RussELLSche Typentheorie, auf die sich das ganze Werk gründet, setzt im Grunde die natürlichen Zahlen voraus.
Man denke an den Isomorphismus in der Gruppen- und Körpertheorie, wo es sich um den nämlichen Gedanken handelt!
Vgl. hierzu Geiger, S. 32. Diese Auffassung ist übrigens nicht nur für die dort sog. „charakterisierenden“ Axiome berechtigt, sondern auch für die „existenzsetzenden“, speziell für die bedingten Existenzaxiome (vgl. Vorl. 5/6, Nrn. 5 und 6); dadurch nämlich, daß die Existenz gewisser Objekte (als Realisierung der Grundbegriffe) gefordert wird, namentlich solcher, die zu anderen schon existierend gedachten in vorgeschriebener Relation stehen, werden für die Deutung der Grundbegriffe und Grundrelationen von selbst die Grenzen immer enger und enger gezogen. Das läßt sich an Hand willkürlich gewählter vorläufiger Deutungsversuche leicht veranschaulichen.
Daß man es freilich mit dieser Evidenz vielfach (auch in der Mathematik) zu leicht genommen hat und die Folgen dann oft nicht ausgeblieben sind, beweist die Geschichte der Wissenschaft zur Genüge.
Das schließt natürlich nicht aus, daß schon vor dem Nachweis der Widerspruchsfreiheit der Mathematiker seine als widerspruchsfrei vermuteten Begriffe zunächst postulieren kann (und in praxi beinahe immer so verfährt). Vgl. z. B. Hessenberg 2, S. 146.
Auch von rein philosophischer (und speziell logistischer) Seite wird öfter hervorgehoben, daß erst die Existenz eines Begriffs seine Widerspruchslosigkeit verbürge und nicht umgekehrt (vgl. z. B. die Literaturangaben bei Hölder, S. 114). Doch fehlt es von dieser Seite noch an einer befriedigenden Umgrenzung des Begriffs „Existenz“ in der Mathematik.
In kleinerem Maßstab ist diese Methode auch schon früher vielfach geübt und anerkannt worden. Man denke z. B. an die Rechtfertigung der komplexen Zahlen einerseits durch Wessel-Argand-Gauss, andererseits durch Cauchy (sowie die Verallgemeinerung der letzteren Methode durch Kronecker und Steinitz) ! Der grundsätzlichen Einstellung nach nähert sich diese Methode dem, was Cantor die Begründung der transienten Realität wissenschaftlicher Begriffe nennt, während der Nachweis der von ihm als immanent bezeichneten Realität seine höchste Steigerung in der neuen Methode Hilberts erfährt. Vgl. indes auch den Schluß dieser Nr.
Hilbert 3–5, Ackermann 1 und 2 sowie eine demnächst erscheinende Arbeit von v. Neumann; vgl. dazu Stammler, S. 154ff. Für gemeinverständliche Kennzeichnung der Methode vgl. Bernays 1, Fraenkel 8, Weyl 2 und 3. Ein einschlägiger Teilversuch mit wesentlich engerer Zielsetzung bei Dingler 1.
Im März 1925 hat W. Ackermann in Kiel Vorträge Ober die Methode und die Ergebnisse Hilberts und seiner Mitarbeiter gehalten.
Inwiefern Kant überhaupt als Vorläufer oder sogar als Schöpfer der axiomatischen Betrachtung im neueren Sinn betrachtet werden kann, dafür vergleiche man Scholz, besonders S. 8.
Es muß hervorgehoben werden, daß auch bei der Entscheidung für diesen Weg ein Bedenken grundsätzlicher Art auftaucht, das eine nähere Untersuchung verdient (mündlicher Hinweis von J. v. Neumann). Wenn man bei der Axiomatisierung der Mengenlehre die natürlichen Zahlen voraussetzt, die man andererseits aus den Axiomen der Mengenlehre heraus nachträglich gemäß Nr. 5 begründen kann, so fragt es sich, ob jene natürlichen Zahlen „dieselben“ sind wie diese. Schärfer ausgedrückt: da gemäß den in Vorl. 3/4, Nr. 11, erwähnten Untersuchungen eine von vornherein abzählbar unendliche Menge diesen Charakter nicht auch in bezug auf ein gegebenes Axiomensystem der Mengenlehre beizubehalten braucht, in diesem vielmehr z. B. „endlich“ (wie auch überabzählbar) sein könnte, so bedürfte es erst einer besonderen Sicherung dafür, daß die aus dem Axiomensystem heraus abgeleiteten endlichen Zahlen den von anderer Quelle her eingeführten und vorausgesetzten auch wirklich entsprechen.
Nur in dem praktisch bedeutungslosen Fall, wo ein (nicht triviales) Axiom einen Grundbegriff enthält, der in die übrigen (mit einander verträglichen) Axiome weder unmittelbar noch mittelbar eingeht, ist die Unabhängigkeit direkt ersichtlich.
Einige Vorträge, die im Ausland über diesen delikaten, sorgfältige Beweisausführung erfordernden Gegenstand gehalten wurden, sind nicht veröffentlicht worden (Lennes, Kuratowski 3); vgl. auch schon Fraenkel 2, S. 234.
In einem noch anderen, aber wesentlicher verschiedenen Sinn, nämlich vom Standpunkt der logistischen Methode aus, findet man das Problem in Chwistek 2 (namentlich S. 469 f.) behandelt.
Über die Natur dieser Grunddinge wird keinerlei Voraussetzung gemacht. Die besondere Art der Bezeichnung ist lediglich in Rücksicht auf die Grundmenge P gewählt; man darf aus dieser Bezeichnung also nicht etwa folgern wollen, daß die mit dem Buchstaben a bezeichneten Dinge (z. B. a 1 und a 2) außerdem in irgendwelcher Beziehung stehen, die sie (etwa im Gegensatz zu a 1 und b 2) miteinander verknüpfte.
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Fraenkel, A. (1927). Theorie der Ordnung. Die endlichen Mengen. Über die Vollständigkeit, Widerspruchsfreiheit und Unabhängigkeit des Axiomensystems. In: Zehn Vorlesungen Über die Grundlegung der Mengenlehre. Wissenschaft und Hypothese. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-15741-0_5
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