Zusammenfassung
Meine Damen und Herren! Bevor wir an die grundsätzlichen Überlegungen gehen, die uns namentlich von der fünften Vorlesung an beschäftigen sollen, stellen wir uns das dazu erforderliche Tatsachenmaterial in einer gedrängten Auswahl aus den elementarsten und grundsätzlich wichtigsten Begriffen und Ergebnissen der Mengenlehre zusammen. Die dazu gehörigen Beweise sind für uns zumeist nicht erforderlich; für sie wie für eine weitere und genauere Ausführung ist auf die Lehrbücher der Mengenlehre zu verweisen.1) Wir halten uns vorläufig an den anschaulich-naiven Aufbau der Mengenlehre, wie er dem Schöpfer dieser Wissenschaft, Georg Cantor (1845–1918), zu verdanken ist.
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Referenzen
Vgl. die Literaturzusammenstellung am Schlüsse, auf die im folgenden bei allen Zitaten Bezug genommen ist. Hier sind zu nennen: Schoenflies 1, Hausdorff, Fraenkel 4, Hessenberg 1 und 4, Grelling 2. Die Mengenlehre Cantors ist in den drei letzten Jahrzehnten des vorigen Jahrhunderts entstanden.
Einem etwaigen philologischen Anstoß an dieser historischen Formulierung beuge der Hinweis vor, daß natürlich nicht der Akt des Zusammenfassens, sondern das Resultat dieses Aktes gemeint ist.
Auf eine scharfe Fassung von Begriffen wie „existieren“, „feststehen“ usw. wird zunächst noch verzichtet. Diese wichtige Aufgabe wird uns erst von der dritten Vorlesung an beschäftigen.
Die Definition der Transzendenz, deren Kenntnis und Verständnis übrigens für das Folgende keineswegs erforderlich ist, lautet: Eine Zahl a ist transzendent, wenn es keine algebraische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten gibt, die die Wurzel x = a besitzt. Transzendent ist z. B. die Kreiszahl π. Im allgemeinen sind unsere Kenntnisse über die Transzendenz von Zahlen noch sehr unzureichend.
Nur eine grobe Verkennung des Wesens einer Definition als Festsetzung kann daran Anstoß nehmen, daß hiernach auch die Nullmenge als „Menge“ und jede Menge als „Teilmenge“ von sich selbst gilt (wie man ja auch eine ganze Zahl als „Teiler“ von sich selbst zu bezeichnen pflegt). Man darf sicherlich die Begriffe „Menge“ und „Teilmenge“ so weit fassen, und daß man es tut, liegt ausschließlich an Zweckmäßigkeitsgründen (vgl. S. 14 und 77); man denke etwa daran, daß man in einer Theorie der Farben, je nachdem wie es für den beabsichtigten Zweck einfacher ist. Weiß entweder wohl oder nicht in den Begriff „Farbe“ einschließen wird!
Daß trotzdem die Umschreibung von „zwei Mengen sind äquivalent“ durch „ihre Kardinalzahlen sind gleich“ überaus nützlich sein kann, zeige folgendes Beispiel (vgl. Nr. 3): die Aussage „die Kardinalzahl der Menge M ist kleiner als die der Menge N“ ist infolge geeigneten Gebrauchs der obigen Umschreibung (und der damit bequem einführbaren Beziehung des Kleinerseins) gleichbedeutend mit dem Satzungeheuer: „jede zu M äquivalente Menge ist äquivalent je einer Teilmenge jeder zu N äquivalenten Menge, während keine zu N äquivalente Menge einer Teilmenge irgendeiner zu M äquivalenten Menge äquivalent ist“.
Kardinalzahlen bezeichnen wir vorerst in der Regel mit deutschen Lettern, Mengen mit lateinischen (oder griechischen).
Die Verwendung des Buchstabens N (Alef), des Anfangsbuchstabens des hebräischen Alphabets, geht auf Cantor zurück.
Das Wesentliche einer derartigen Zahlkonstruktion liegt natürlich nicht in der Berechnung der ersten paar Dezimalstellen, auf die es im Grunde wenig ankommt, sondern in der Angabe eines allgemeinen Berechnungsgesetzes, wie es in den beiden letzten Absätzen enthalten ist. Entsprechendes gilt für alle konstruktiven Existenzbeweise der Mathematik (vgl. Vorl. 3/4, Nr. 7).
Manche Autoren verstehen unter „Produkt“ den Durchschnitt, was sachlich mit guten Gründen zu belegen ist; der Einfachheit halber ziehen wir hier die obige Bezeichnungsweise vor.
Gegenüber einer irrigen Darstellung Poinoarés, die viel Verbreitung gefunden hat, verdient hervorgehoben zu werden, daß neben Weierstrass auch Hermite zu denjenigen gehört hat, die nach anfänglichem Vorurteil gegen die Mengenlehre ihr später entschiedene Zuneigung entgegenbrachten (vgl. Young, S. 423).
An neuestens hinzugekommener Literatur seien Brodén, Finsler, Horák, Langer 1, Mirimanoff 2, Richard, Weyl 2, Dieck 1 und Petzoldt erwähnt; die beiden letzten Aufsätze dürften allerdings in einigen wesentlichen Punkten auf Mißverständnissen beruhen. Man vgl. auch Vorl. 3/4, Nr. 8, Fußnote 6 (S. 40).
Vgl. dagegen Vaihingers Fiktionslehre, wie sie im Hinblick auf die Beziehungen zur Mathematik etwa in Dieck 2 zum Ausdruck kommt, einem vom mathematischen Standpunkt aus allerdings in wesentlichen Beziehungen zu beanstandenden Buche.
Cantor selbst, der um jene Zeit längst aufgehört hatte zu publizieren, gab allerdings die Zuversicht auf den Endsieg seiner Ideen nicht auf.
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Fraenkel, A. (1927). Umrisse der Cantorschen Mengenlehre. Die Antinomien der Mengenlehre und ihre Wirkung. In: Zehn Vorlesungen Über die Grundlegung der Mengenlehre. Wissenschaft und Hypothese. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-15741-0_1
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