Zufallsvariable, diskrete und kontinuierliche Verteilungen

Zusammenfassung

Auf der Grundlage eines Wahrscheinlichkeitsfeldes (Ω,S,W) ist eine Zufallsvariable durch die Abbildung X: Ω → R dann definiert, wenn für jede reelle Zahl y für die Menge der Elementarereignisse {ω|X((ω)≤y}∈S gilt, d.h. diese ein Ereignis ist und damit eine Wahrscheinlichkeit W({ω | X(ω) ≤ y}) = F(y) besitzt. F(y) heißt Verteilungsfunktion. Durch sie ist eine Zufallsvariable eindeutig beschrieben. F(y) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit dafür, daß X ≤ y ist. Bei den Anwendungen geht man zumeist von dieser direkten Definition einer Zufallsvariablen durch F aus. Aus dem Wahrscheinlichkeitscharakter der Verteilungsfunktion ergeben sich die folgenden formalen Eigenschaften:

• (1) F ist monoton nicht fallend,

• (2) F ist rechtsseitig stetig und linksseitig konvergent,

• (3)
  $$[tex]\mathop {\lim }\limits_{y \to \infty } F(y) = 0[/tex]$$

  ,

• (4)
  $$[tex]\mathop {\lim }\limits_{y \to \infty } F(y) = 1[/tex]$$

  .