Isolierte Singularitäten

Zusammenfassung

Funktionen wie $\frac{1}{{1 + {z^2}}}$ , tan z, exp $\frac{1}{z}$ sind mit Ausnahme einzelner Punkte in ℂ holomorph. Das Studium einer derartigen Funktion in der Nähe einer solchen „isolierten Singularität“ z ₀ liefert theoretisch und praktisch wichtige Erkenntnisse: Die Funktion kann um z ₀ in eine nach positiven und negativen Potenzen von z − z ₀ fortschreitende Reihe (Laurent-Reihe als Verallgemeinerung der Taylor-Reihe) entwickelt werden; es gibt eine einfache Klassifikation der isolierten Singularitäten auf Grund des Verhaltens der Funktion in ihrer Nähe (§§ 1 und 2). Für Funktionen mit isolierten Singularitäten verallgemeinert sich der Cauchysche Integralsatz zum Residuensatz (§§ 4 und 5*). Dieser ermöglicht zum einen die Auswertung großer Klassen reeller Integrale (§ 6), zum anderen liefert er präzise Informationen über das Abbildungsverhalten holomorpher Funktionen (§ 7). — Nebenbei ergibt sich beim Studium des einfachsten Typs isolierter Singularitäten, der Pole, der Anlaß, die Zahlenebene durch einen unendlich fernen Punkt zur Riemannschen Zahlensphäre zu erweitern.