Der globale Cauchysche Integralsatz

Zusammenfassung

Diejenigen geschlossenen Integrationswege γ in einem Bereich U, für die $\int\limits_\gamma {f\left( z \right)dz = 0}$ bei jeder in U holomorphen Funktion f gilt, lassen sich geometrisch charakterisieren: Es sind gerade diejenigen, die keinen Punkt des Komplementes von U „im Innern“ enthalten. Diese Vorstellung wird in § 1 durch den Begriff der Umlaufszahl präzisiert (der Zusammenhang mit der Anschauung wird allerdings erst in Kap. V, § 1 vollständig hergestellt) und führt zu einer allgemeinen Version des Cauchyschen Integralsatzes und der Cauchyschen Integralformeln (§ 2). Interpretationen und geometrische Anwendungen der Umlaufszahl beschließen das Kapitel. — Die allgemeine Version der Cauchyschen Sätze wird selten benötigt; der Leser, der lieber mit Differentialformen und positiv berandeten Gebieten arbeiten möchte, braucht diesem Kapitel nur den Begriff des einfachen Zusammenhangs und der Umlaufszahl zu entnehmen.