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Quantitative Eigenschaften

  • Carola Eschenbach
Chapter
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Part of the Studien zur Kognitionswissenschaft book series (SZKW)

Zusammenfassung

Die Repräsentation quantitativer Eigenschaften sowie die Bedeutungsanalyse für sprachliche Ausdrücke mit Bezug zur Messung stellen das Thema dieses Kapitels dar. Als Basis der Modellierung von Maßangaben sind die ontologischen und formalen Rahmenbedingungen der Messung aufzuarbeiten. Arbeiten aus der Philosophie der Naturwissenschaften und der in der Psychologie und den Sozialwissenschaften prominenten Meßtheorie, in denen die Grundlagen der Messung ein wichtiger Diskussionspunkt sind, werden hierfür hinzugezogen. Allerdings ist zu beachten, daß es nicht darum geht, eine für die Naturwissenschaften adäquate Modellierung von Messung spezifischer Eigenschaften vorzunehmen, sondern eine allgemeine Basis für die Analyse und Repräsentation von quantitativen Eigenschaften zu schaffen, die auch eine Basis zur Behandlung der sprachlichen Ausdrücke liefert. Die hier vorgestellten Überlegungen und Beispiele zu spezifischen Dimensionen können dementsprechend als aus naturwissenschaftlicher Sicht naiv gelten.

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Literatur

  1. 1.
    Als kompakte und sehr systematische Einführung in diesen Bereich kann Suppes & Zinnes 1963 angeführt werden. Eine ausführlichere Darstellung ist in Krantz et al. 1971 zu finden. S.a. Scott & Suppes 1958.Google Scholar
  2. 2.
    Wenn ES eine empirische Struktur, NS eine numerische Struktur und Φ die Menge der Homomorphismen ist, dann wird untersucht: (1) Unter welchen Bedingungen ist Φ nicht leer und (2) durch welche strukturellen Eigenschaften ist die Menge der Automorphismen F = (f: NS → NS ǀ ∃ φ1, φ2 ∈ Φ: φ1 = f φ2) definierbar.Google Scholar
  3. 3.
    Um den Vergleich der verschiedenen vorgestellten Systeme zu erleichtern, bemühe ich mich, eine möglichst einheitliche Notation zu verwenden. In diesem Fall wurde von den Autoren ∘ anstelle von ◊ verwendet.Google Scholar
  4. 4.
    Helmholtz (1887) sieht Messung nicht als unanalysierbere Abbildung von Objekten auf Zahlen ab, sondern geht auf die beiden Aspekte der Abstraktion und der Anwendung der Maßeinheit ein. Sein Ansatz ist aus ontologischer Sicht dem im weiteren von mir vorgestellten eng verwandt, jedoch nicht vollständig formalisiert. Die besondere Auseinandersetzung von Carnap und Ellis mit extensiv-additiven Größen, auf die ich im weiteren eingehe, ist aber sicherlich auf Helmholtz zurückzuführen, der diese Größen besonders auszeichnet.Google Scholar
  5. 5.
    Für die Definition der Celsius-Skala werden beispielsweise als Bedingungen für die Zuweisungen der Werte 0 bzw. 100 die Übergängen zwischen den Aggregatzuständen beim Wasser (unter Normaldruck) festgelegt.Google Scholar
  6. 6.
    Celsius-Skalen und Fahrenheit-Skalen, die mithilfe der gleichen Bedingung EDM bestimmt werden, haben also die gleiche Form, sind aber nicht identisch. Dagegen sind Celsius-Skalen, von denen die eine auf dem Ausdehnungsverhalten von Wasserstoff beruht und die andere auf dem Ausdehnungsverhalten von Eisen, weder identisch, noch von gleicher Form.Google Scholar
  7. 7.
    Die Unterscheidung zwischen additiv-extensiven und nichtadditiv-extensiven Größen nimmt Carnap erst später (S. 74) vor und spricht bei der Angabe dieses Schemas auch allgemein von extensiven Größen. Aus dem Kontext geht dabei hervor, daß sich dieses Schema lediglich auf die additiv-extensiven Größen bezieht. Viele Autoren verwenden ‚extensiv’ im Sinne von Carnaps ,additiv-extensiv4. Ich werde im folgenden meist ‚additiv’ einsetzen, auch wenn im Original ein anderer Terminus verwendet wurde, additiv-extensiv’ verwende ich dabei nur noch, wenn es explizit um den Kontrast zu ‚extensiv, aber nicht additiv’ geht.Google Scholar
  8. 8.
    Mehrere Aussagen, die Bierwisch über das Modell macht, treffen nicht zu. Dieses liegt primär daran, daß Bierwisch (1987) den im Hintergrund stehenden Bezug zu Prä-Skalen nicht explizit macht. So behauptet er, daß das ,leere Intervall d0′ den Nullpunkt der Skala markiert. Ist aber d0 wirklich leer, so ist im Widerspruch zu Bedingung 2 nach Bedingung 4 D = D0, da dj ≥ dk zu lesen ist als „der Skalenabschnitt dj enthält (unecht) den Skalenabschnitt dk (S.135). Es geht mir hier jedoch nicht darum, Bierwisch mit formalen Spitzfindigkeiten zu widerlegen, sondern die zugrundeliegenden Intentionen deutlich zu machen.Google Scholar
  9. 9.
    Bierwischs Motivation scheint die folgende Spezifikation zu sein: D ⊆ {A ⊆ PD ǀ ∀ a, b ∈ A, c ∈ PD[a>c ⋀ c >b → c ∈ A]}.Google Scholar
  10. 10.
    Als Motivation steht die Definition d0 = (p0) im Hintergrund.Google Scholar
  11. 11.
    Diese Bedingung soll garantieren, „daß die Elemente von D0 Anfangsstücke der Skala sind, daß es ‚unterhalb’ von D0 keine Skalenabschnitte gibt“. Da er jedoch weder D noch d0 (wie hier in den beiden vorhergehenden Fußnoten geschehen) definiert, leistet sie dieses nicht.Google Scholar
  12. 12.
    Die Relation ǀ (Disjunktheit von Skalenabschnitten) ist definiert als: ∀ dj, dk ∈ D [dj ǀ dk ↔ ∃ dj ∈ D [dj ≥ dj ⋀ dk ≥ dj]]. Wie der Vergleich der geltenden Beziehungen zwischen >, + und I mit den Beziehungen zwischen a, u, und l in mereologischen Strukturen (s. Abschnitt 5.1.1) zeigt, sind kanonische Skalen im wesentlichen mereologische Strukturen.Google Scholar
  13. 13.
    Diese Definition liefert keine Funktionen, womit das Gleichheitszeichen im Grunde unberechtigt ist.Google Scholar
  14. 14.
    Löbners und Pinkals diesbezügliche Beobachtungen möchte ich damit in keiner Weise ihren Wert absprechen. Allerdings birgt ihre Integration in eine Axiomatisierung von Skalen, so wie sie hier angestrebt wird, erhebliche Probleme. Aus diesem Grunde werde ich davon ausgehen, daß es nicht die Grade selbst sind, die verantwortlich für die entsprechenden Effekte sind, sondern, daß hier viel allgemeinere Phänomene eine Rolle spielen. Hobbs et al. (1987) verwenden granulare Vergleichsskalen, auf denen neben einer Ordnungsrelation eine Ununterscheidbarkeitsrelation gegeben ist.Google Scholar
  15. 15.
    Die Verweise auf die jeweils einschlägigen Theoreme erfolgen jeweils durch Anführung entsprechender Kürzel in den Fußnoten.Google Scholar
  16. 16.
    Genauer gesagt, erlauben die Axiome natürlich auch derartige Modelle, sie verlangen sie aber nicht.Google Scholar
  17. 17.
    vgl. Krantz et al. 1971:84Google Scholar
  18. 18.
    Die Menge der reelen Zahlen (ℜ) ist archimedisch geordnet. Diese Eigenschaft hat dann auch jede bzgl. der Multiplikation mit natürlichen Zahlen abgeschlossene Teilmenge von ℜ bzgl. der von ℜ induzierten Ordnung (>). Die Folge ist, daß Ordnungsstrukturen, auf denen eine Äquidistanzrelation definierbar ist und die nicht die archimedische Eigenschaft haben, sich nicht durch Teilstrukturen von ( >) modellieren lassen. Auf der Basis von ℜ × ℜ können jedoch auch Modelle für nichtarchimedische Ordnungsstrukturen gefunden werden ([TΔ]).Google Scholar
  19. 19.
    [TvΔ] und [Tv Sdiskret]Google Scholar
  20. 20.
    [T Sg0], [T Sg]Google Scholar
  21. 21.
    [T»T], [T»IR], [T»AS], [A»L]Google Scholar
  22. 22.
    Die von Krantz et al. explizit angegebene Transitivität von » ergibt sich aus den restlichen Axiomen ([T»T]).Google Scholar
  23. 23.
    Vgl. [D>Δ], [T≥ΔΔ], [T>T], [T≥ΔT], [T≥ΔL], [T≥ΔM2], [T≥ΔK], [T≥ΔA]Google Scholar
  24. 24.
  25. 25.
  26. 26.
    [T∂K], [T∂Ass], [T∂M], [T∂E] und [T∂A]. Daß in Äqui-Skalen, anders als in positiven Differenzsystemen, auch ,Null-Abstände’ in der Domäne von A liegen, ist durch den Wunsch nach der Kommuta-tivität von d begründet.Google Scholar
  27. 27.
  28. 28.
    [Dγ1] und [TΔM3]Google Scholar
  29. 29.
    [TA], [D∂]Google Scholar
  30. 30.
    [T Sκ1], [T Sκ2]Google Scholar
  31. 31.
    Q+ steht im weiteren für die positiven rationalen Zahlen und N für die natürlichen Zahlen (ohne Null).Google Scholar
  32. 32.
  33. 33.
    Für die Modellierung der sprachlichen Daten ist die Einführung einer zusätzlichen ontologischen Ebene (der Skalenabschnitte oder Graddifferenzen) erforderlich. Der Kalkül der Äqui-Skalen erfordert dieses jedoch nicht.Google Scholar
  34. 34.
    Krantz et al. (1971) betrachten auch Kombinationsoperatoren, die nicht total, d.h. lediglich auf einer Teilmenge von O×O definiert sind. Einer Umformulierung der folgenden Bedingungen in diesem Sinne steht natürlich nichts entgegen.Google Scholar
  35. 35.
    Ich habe bei der folgenden Darstellung der Einfachheit halber außer acht gelassen, daß φ partiell sein kann und daß insbesondere nicht garantiert sein muß, daß die Projektion für beliebige Summen von Objekten definiert ist.Google Scholar
  36. 36.
    [TAdd], [AΔE]Google Scholar
  37. 37.
    Dieses betrifft insbesondere Konstruktionen, die das Muster von (21.a) aufweisen. In bezug auf das Dimensionsnomen Gewicht ist hier anzumerken, daß bei der Kombination mit einem Numeral (fünf Gewichte) stets die Interpretation entsprechend Gewichtsstücke auftritt, also ein konkreter Bezug hergestellt wird. Eine Ausnahme bildet hier ein Gruppe von Dimensionsnomen, die sich auf die Skala der Werte beziehen ((Un)Kosten, Ausgaben, Auslagen, Alimente, Einnahmen) und entweder nur oder präfe-riert im Plural verwendet werden.Google Scholar
  38. 38.
    Dieser Aspekt von Dimensionsnomen bleibt somit ungeklärt, ebenso wie grundsätzliche Überlegungen zu der Frage der Zählbarkeit von Abstrakta und die Korrespondenz zwischen referentieller und quantitativer Bestimmtheit hier nicht angestellt werden können. Mit dieser Beschränktheit der Anwendbarkeit der Analyse auf den Bereich der Konkreta steht jedoch diese Arbeit nicht allein.Google Scholar
  39. 39.
    Vgl. Löbner (1979, 1985) zu relationalen und funktionalen Nomen sowie Lang (1987) zu verschiedene Dimensionsfunktionen im räumlichen Bereich.Google Scholar
  40. 40.
    Vgl. auch die Diskussion zu dem Beispiel The temperature is ninety and rising. (z.B. Montague 1973, Löbner 1979)Google Scholar
  41. 41.
    In anderen Sprachen wie dem Englischen treten nicht die im Deutschen zu beobachtenden Grammati-kalitätsunterschiede auf: Die Kopula kann auch die Funktion übernehmen, die im Deutschen von betragen übernommen wird. Ob die hier vorgestellte Analyse sich grundsätzlich verallgemeinern läßt oder das Verb betragen als eine allein im Deutschen auftretende Idiosynkrasie anzusehen ist, läßt sich aufgrund des Mangels an sprachübergreifenden Studien bislang nicht entscheiden. Zu beachten ist allerdings, daß aufgrund von (24.b) betragen nicht als spezifische Kopula analysiert werden kann, die auf Grade spezialisiert ist.Google Scholar
  42. 42.
    Gewicht gehört vielleicht auch zu den Dimensionsnomen, mit denen diese Konstruktion nicht vollkommen glücklich wirkt. Ich werde dennoch die weitere Diskussion an diesem Beispiel weiterführen, da hierdurch ein klarer Bezug zu den anderen diskutierten Beispielen offenkundig ist. Die folgenden Beispiele zeigen, daß die fragliche Konstruktion im Deutschen recht systematisch anzutreffen ist: 10 Kilogramm Übergewicht, 40 Grad Fieber, 20 Zentimeter Entfernung, 400 Kilowatt Leistung, 80 Prozent Zuwachs. Google Scholar
  43. 43.
    Ich halte diese Konstruktion nicht für eine syntaktische Ellipse, da die (33) entsprechende Konstruktion teilweise auch dann zulässig ist, wenn (32) nicht möglich ist (ein Junge von 10 Jahren *Alter). Man vergleiche hierzu auch die Überlegungen zu der Konstruktion eine Gruppe von Frauen in Kapitel 5.Google Scholar
  44. 44.
    Die Frage, auf welcher Basis der jeweils einschlägige Normwert bestimmt wird, muß ich vollkommen ausklammern (s. aber Wheeler 1972, Löbner 1990, Simmons 1992).Google Scholar
  45. 45.
    Die Analyse von Bierwisch und Lang bietet keine Basis, die Verteilung von sehr und viel in bezug auf die Adjektivformen zu erklären (s. dagegen Wheeler 1972) und liefert bei der Äquativkonstruktion mit negativ-polaren Dimensionsadjektiven ein inkorrektes Ergebnis: Der Elefant ist so klein wie die Maus groß ist ergibt eine semantische Repräsentation, die sich wie folgt paraphrasieren läßt: Der Elefant ist um so viel kleiner als ein Normwert wie die Maus größer als ein Normwert ist.Google Scholar
  46. 46.
    Die hier verwendete Modellierung von Vergleichsangaben (sowohl beim Äquativ als auch später beim Komparativ) stellt eine Vereinfachung dar, in der Disjunktion, Konjunktion und Quantifikation innerhalb des Vergleichsausdruckes nicht berücksichtigt wird (s. aber Pinkal 1989a).Google Scholar
  47. 47.
    Weitere Faktorangaben sind doppelt, halb, anderthalbmal, eineindrittelmal, zweieinhalbmal unter Umständen auch eindrittelmal, nicht aber (ein)drittel. Die Analyse von Faktorangaben möchte ich hier allein auf die Struktur der systematisch gebildeten stützen.Google Scholar
  48. 48.
    Obwohl diese Konstruktion eng mit Partitivkonstruktionen wie 20 Prozent von 5 Gramm Gold zusammenhängt, erscheint es mir angemessen die Modellierung in diesem Fall ohne die Relation Teil-von auf Objektebene vorzunehmen (vgl. 20 Prozent von 5 Gramm schwerer. Auf Konstruktionen, die eine Partitivinterpretation in bezug auf konkrete Objekte erfordern, gehe ich weiter unten ein.Google Scholar
  49. 49.
    An diesem Beispiel wird deutlich, daß die Interpretation von Freistellen innerhalb der semantischen Bedeutungsebene auf der konzeptuellen Ebene kein eindeutiger Prozeß im Sinne der strikten Kompositio-nalität ist. Neben der oben angegebenen (wahrscheinlich präferierten) Interpretation ist es auch möglich, g mit amount(gew_f(x)) zu identifizieren, die Prozente also relativ zu dem externen Argument zu bestimmen.Google Scholar
  50. 50.
    Duden: Das Herkunftswörterbuch.Google Scholar
  51. 51.
    s. auch Lakoff 1987Google Scholar
  52. 52.
    In dem Beispiel ‚einige Barren Goldes in Ringform‘ ist es nicht möglich Barren als Zähleinheit zu interpretieren. Daher muß für das Verständnis dieses Ausdruckes angenommen werden, daß das Gewicht eines Barrens als Normwert zur Messung von Gold anzusehen ist.Google Scholar
  53. 53.
    Umfangsangaben in Form von quantitativen Nominalgruppe unterliegen anderen Restriktionen.Google Scholar
  54. 54.
    D.h. 20 Liter Becher wird nicht entsprechend Becher mit einer Gesamtkapazität von 20 Litern interpretiert.Google Scholar
  55. 55.
    vgl. Dölling 1990:197Google Scholar

Copyright information

© Springer Fachmedien Wiesbaden 1995

Authors and Affiliations

  • Carola Eschenbach

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