Zusammenfassung
Der Beweis von Neumanns und anderer, daß die Quantenmechanik keine Deutung durch verborgene Variable zuläßt, wird nochmals betrachtet. Es zeigt sich, daß diesem Beweis wesentliche Axiome zugrundeliegen, die nicht einsichtig sind. Die weitere Prüfung dieses Problems ergibt, daß die wechselseitige Unabhängigkeit weit voneinander entfernter Systeme ein interessantes Axiom wäre.
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Anmerkungen
Die folgenden Arbeiten enthalten Diskussionen des und Zitate zum Problem verborgener Variabler: L. de Broglie, Physicien et Penseur (Albin Michel, Paris, 1953).
W.Y. Heisenberg, in Niels Bohr and the Development of Physics, W. Pauli, Ed. (McGraw-Hill Book Co., Inc., New York, 1955
W.Y. Heisenberg, in Niels Bohr and the Development of Physics Pergamon Press, Ltd., London, 1955); Observation and Interpretation, S. Körner, Ed. (Academic Press Inc., New York, and Butterworths Scientific Publ., Ltd, London, 1957);.
N. R. Hansen, The Concept of the Positron (Cambridge University Press, Cambridge, England, 1963). Siehe auch die später zitierte Arbeit von D. Bohm und von Bell und Nauenberg [8]. Bezüglich der Ansicht, daß die Möglichkeit verborgener Variabler von geringem Interesse ist, siehe speziell die Beiträge von Rosenfeld zu dem ersten und dem dritten der erwähnten Bände, ferner Paulis Beitrag zum ersten Band, den Artikel von Heisenberg und viele Absätze in Hansen.
P. A. Schilpp (Herausgeber), Albert Einstein als Philosoph und Wissenschaftler, Vieweg reprint, Wiesbaden 1979 (Orginalausgabe: Library of Living Philosophers, Evanstan, Illinois 1949). Einsteins „Autobiographische Notizen“ und seine „Antwort auf die Kritiker“ lassen vermuten, daß das Problem verborgener Variabler von Interesse ist.
J. M. Jauch und C. Piron, Helv. Phys. Acta 36, 827 (1963).
A. M. Gleason, J. Math. & Mech. 6, 885 (1957). Ich danke Herrn Prof. Jauch für den Hinweis auf diese Arbeit.
N. Bohr, in Ref. 2.
D. Böhm, Phys. Rev. 85, 166, 180 (1952).
Speziell scheint die Analyse von Böhm [6] entweder unklar oder ungenau. Er betont ausführlich die Bedeutung der Experimentieranordung. Er scheint jedoch anzunehmen (Ref. 6, S. 187), daß die Umgehung des Theorems die Assoziation der verborgenen Variablen mit dem Meßapparat (und natürlich mit dem beobachteten System) unbedingt erfordert. Abschnitt II enthält dazu ein Gegenbeispiel. Wir werden ferner in Abschnitt III sehen, daß die Anerkennung von von Neumanns wesentlicher Additivitätsannahme beliebig lokalisierte verborgene Variable unmöglich macht. Auch Böhms weitere Bemerkungen in Ref. 16 (S. 95) und Ref. 17 (S. 358) sind nicht überzeugend. Andere Kritiker des Theorems werden von J. Albertson, Am. J. of Phys. 29, 478 (1961) zitiert und einige davon widerlegt.
Neuere Arbeiten über den Meßprozeß in der Quantenmechanik mit weiteren Zitaten sind E. P. Wigner, Am. J. Phys. 31, 6 (1963).
A. Shimony, Am. J. Phys. 31, 755 (1963).
J. M. Jauch, Helv. Phys. Acta 37, 293 (1964); B. d’Espagnat, Conceptions de la physique contemporaine (Hermann & Cie., Paris, 1965); J. S. Bell und M. Nauenberg, in Preludes in Theoretical Physics, in Honor of V. Weisskopf (North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1966).
J. von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik (Julius Springer-Verlag, Berlin, 1932). Das Problem wird im Vorwort und auf S. 109 dargestellt. Der formale Beweis wird auf den Seiten 157-170 gegeben und auf den folgenden Seiten kommentiert. Eine abgeschlossene Darstellung des Beweises wurde von J. Albertson (Ref. 7) gegeben.
Dies findet sich in von Neumanns B′ (S. 165), I (S. 167), II (S. 167).
Siehe Ref. 9, S. 109.
Siehe Ref. 9, S. 171.
Im zweidimensionalen Fall ist <a> = <b> = 1 (für einen quantenmechanischen Zustand) nur möglich, wenn die beiden Projektionsoperatoren identisch sind.
Das einfachste Beispiel zur Illustration der Diskussion von Abschnitt V wäre ein Teilchen mit Spin 1 mit einer ausreichenden Anzahl von Wechselwirkungen des Spins mit externen Feldern, die es gestatten, beliebige und vollständige Sätze von Spinzuständen räumlich zu separieren.
Es gibt klarerweise genügend interessante Messungen, die auf diese Art ausgeführt werden können. Wir werden hier unbeachtet lassen, ob es auch andere Messungen gibt.
D. Böhm, Causality and Chance in Modern Physics (D. Van Nostrand Co., Inc., Princeton, N. J., 1957)
D. Böhm, in Quantum Theory, D. R. Bates, Ed. (Academic Press Inc., New York, 1962).
D. Böhm und Y. Aharonov, Phys. Rev. 108, 1070 (1957).
Nach der Fertigstellung dieser Arbeit wurde ein derartiger Beweis gefunden, siehe J. S. Bell, Physics 1, 195 (1965).
Anmerkungen der Herausgeber
Dieser Erwartungswert ist α + βz = α + βcos¸, wobei θ der Winkel zwischen und der z-Achse ist. Die Wahrscheinlichkeit für die beiden Eigenwerte (2) ist p 1 = cos2 (θ/2) und p 2 = sin2 (θ/2).
Für die Wahl von (3) ist ausschlaggebend, daß sich nur Eigenwerte von ergeben dürfen und ferner der Mittelwert der Quantenmechanik entsprechen muß. Letzteres wird nun gezeigt.
Jauch und Piron konzentrierten sich in ihrer Arbeit auf Projektionsoperatoren, da diese „Ja-Nein-Experimenten“ entsprechen und damit die „Quantenlogik“ wiedergeben.
Die Klammern bezeichnen hier keine quantenmechanischen Erwartungswerte, sondern Meßergebnisse für dispersionsfreie Zustände. Bei diesen gibt es keine Erwartungswerte, nur Eigenwerte.
Die Überlegungen dieses Abschnittes führten später zur „Bellschen Ungleichung“, die in verschiedenen Formen den heute durchgeführten Tests der Quantenmechanik zugrunde liegt. Die erste Formulierung der Ungleichung wurde von Bell 1964 gefunden und in Physics 1, 195 (1965) veröffentlicht.
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Bell, J.S. (1984). Über das Problem verborgener Variabler in der Quantentheorie (1966). In: Die Deutungen der Quantentheorie. Facetten der Physik. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-14179-2_14
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Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden
Print ISBN: 978-3-528-08540-7
Online ISBN: 978-3-663-14179-2
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