Dimensionen

Zusammenfassung

Im vorigen Kapitel wurden Entropien als Maße für die dynamische Kompliziertheit eines Systems eingeführt. Aus den jeweiligen Eigenschaften eines dynamischen Systems ergeben sich aber auch ganz bestimmte Konsequenzen für die geometrische Struktur einer invarianten Menge. Oft sind dies, wie in den Kapiteln 9 bis 13 gezeigt wurde, glatte Mannigfaltigkeiten wie geschlossene Kurven oder Tori. Besonderes Interesse rufen allerdings solche dynamischen Systeme hervor, deren invariante Mengen keine glatten Flächen sind, sondern solche, die durch Porösität, Ausfransung, Selbstähnlichkeit und andere Eigenschaften gekennzeichnet sind. Zur genaueren Charakterisierung solcher Mengen werden verschiedene Dimensionen betrachtet. Die Dimension als allgemeiner Begriff läßt sich nur schwer definieren, da sehr unterschiedliche Varianten unter dieser Überschrift laufen. Die Dimension d(A) ist aber immer ein Maß für die Fülle der Menge A, das eine Reihe natürlicher Eigenschaften haben sollte. So sollte für zwei beliebige, weit genug auseinanderliegende Mengen A und B möglichst d(A ∪ B) = max{d(A), d(B)} sein. Die Dimension sollte weiter bei Maßstabsveränderungen invariant bleiben, und es sollte möglichst d(A × B) = d(A) + d(B) sein. Für differenzierbare Abbildungen h wäre die Eigenschaft d(h(A)) = d(A) wünschenswert. Wir werden sehen, in welchem Umfang diese Eigenschaften bei den einzelnen Dimensionstypen vertreten sind.