Diskussion des Gauß’schen Integralsatzes

Zusammenfassung

Der Integralsatz von Gauß ist die Verallgemeinerung des „Hauptsatzes der Integralrechnung“ (§2 Satz 2) auf n-dimensionale Lebesgueintegrale, wenn man das im Eindimensionalen betrachtete Integrationsintervall ]α, β[ durch geeignete offene Mengen Ω ⊂ R ⁿ und zugleich die Differenz der Stammfunktion F(β) − F(α) durch eine Integration über den mit einem kanonischen „Randmaß“ versehenen Rand ∂Ω ersetzt. Da die explizite Beschreibung dieses Maßes auf ∂Ω im allgemeinen relativ kompliziert und nur in einer lokalen Parametrisierung von ∂Ω möglich ist, verzichten wir ganz darauf (und damit natürlich auch auf den Beweis des Satzes) und illustrieren stattdessen die Nützlichkeit der bloßen Existenzaussage. In vielen praktischen Anwendungen (z.B. in der Elektrodynamik) kommt es ohnehin nur auf diese Aussage an.