Regularität von Maßen und Dichtheitsaussagen

Zusammenfassung

Das „C ^∞-Urysohn-Lemma“ des vorigen Paragraphen ist eine fundamentale Reichhaltigkeitsaussage der Analysis. Einerseits ist die Multiplikation mit Urysohnfunktionen eine Methode der „glatten Abschneidung“ zur Lokalisierung globaler Probleme der Differentialrechnung. Andererseits verbindet sich, wie in diesem Paragraphen gezeigt wird, die Existenz von Urysohnfunktionen f: χk ≤ f ≤ χu mit der dazu „dualen“ Regularität von Borelmaßen auf R ⁿ zu Aussagen über die Approximierbarkeit integrierbarer Funktionen durch glatte Funktionen. Als Anwendung solcher Reichhaltigkeitsaussagen geben wir in einem Anhang die Grundidee einer Erweiterung des Funktionsbegriffes wieder, die es z.B. erlaubt, in einem verallgemeinerten Sinn jede stetige Funktion f beliebig oft zu differenzieren. Als Resultat der Differentiation ergeben sich verallgemeinerte Funktionen (Distributionen), die im stetig differenzierbaren Fall mit den klassischen Ableitungen von f übereinstimmen. Anwendung findet diese Idee naturgemäß besonders bei der Lösung (partieller) Differentialgleichungen. Wir erläutern hier den Begriff der Fundamentallösung. Auch die Dirac’sche δ-Funktion findet in der Distributionentheorie den ihr zukommenden Platz.