Die Räume L ^p(μ) für p = 1, 2, ∞. Satz von Radon-Nikodym

Zusammenfassung

Es ist einer der großen Vorzüge der Lebesgue’schen Integrationstheorie (und eine Konsequenz ihrer Grenzwertsätze), daß der Vektorraum aller μ- integrierbaren Funktionen in der „Integralnorm“ ∥ f ∥₁ = ∫ |f|dμ vollständig ist. Auf diese Weise erhält man eine Serie von Banachräumen L ^p(μ), 1 ≤ p ≤ ∞, von denen wir die drei wichtigsten Fälle p = 1, 2, ∞ in diesem Paragraphen behandeln; dabei ist L ²(μ) sogar ein Hilbertraum. Wir illustrieren die Stärke solcher Vollständigkeitsaussagen durch einen funktionalanalytischen Beweis des Satzes von Radon-Nikodym mit einem typischen Hilbertraum-Schluß.