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Differentialgleichungen erster Ordnung für eine gesuchte Funktion

  • E. Kamke
Chapter

Zusammenfassung

Die allgemeine (implizite) partielle Differentialgleichung erster Ordnung für eine gesuchte Funktion z = z (x 1,..., x n ) ist von der Gestalt
$$F\left( {x_1, \ldots,x_n,z,\frac{{\partial z}} {{\partial x_1 }}, \ldots \frac{{\partial z}} {{\partial x_n }}} \right) = 0;$$
(I)
dabei ist F eine gegebene Funktion von 2 n + 1 Argumenten. Lösung, Integral, Integralfläche (IFläche; solution, surface intégrale) der DGl ist jede Funktion z = ψ (x 1,..., x n ), die in.einem Gebiet q (x 1,..., x n ) stetige1) partielle Ableitungen erster Ordnung hat und nebst ihren Ableitungen die Gl (I) erfüllt.

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Literatur

  1. 3).
    Es werden häufig noch weitere Voraussetzungen hinzukommen. Für die Lösbarkeit der DGl reicht nämlich die Stetigkeit im allgemeinen nicht aus; vgl. dazu O. Perron, Math. Zeitschrift 27 (1928) 649ff.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  2. 1).
    T. Wazewski, Mathematica 8 (1933) 103–116.Google Scholar
  3. 2).
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  4. 3).
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  5. Vgl. auch 3.6 (c) und E. Kamke, Math. Annalen 99 (1928) 602–616.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  6. 1).
    Vgl. E. Kamke, Math. Annalen 99 (1928) 602–615.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  7. 1).
    Obwohl dieses Kriterium lange bekannt ist, ist es doch erst von K. Knopp und R. Schmidt [Math. Zeitschrift 25 (1926) 373–381] genau formuliert und wirklich bewiesen worden (reproduziert bei E. Kamke, DGlen, S. 302-309). Vgl. auch Haupt-Aumann, D-und IRechnung II, S. 159ff.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
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    E. Kamke, Jahresbericht DMV 44 (1934) 156–161.Google Scholar
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  19. 1).
    Vgl. etwa Serret-Scheffers, Differential-und Integralrechnung III, S. 554ff., sowie Bemerkungen von E. Kamke, Journal für Math. 161 (1929) 195–197. Da dem Multiplikator für die wirkliche Lösung der DGl keine große Bedeutung zukommt, beschränke ich mich hier auf einige wenige Angaben.Google Scholar
  20. 1).
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  21. 2).
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    T. Wazewski, Annales Soc. Polon. Math. 12 (1934) 6–15.Google Scholar
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    Vgl. auch O. Perron, Math. Zeitschrift 27 (1928) 557ff. (n = 1, trapez-förmiges Gebiet, Methode: Iterationsverfahren).MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  30. 1).
    E. Kamke, Math. Zeitschrift 41 (1936) 66.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  31. Vgl. auch M. Cibrario, Atti Accad. Lincei (6) 13 (1931) 26–31; dort ist die rechte Seite allgemeiner, dafür wird die Existenz des Integrals nur in einem charakteristischen Feld g behauptet.Google Scholar
  32. 1).
    Der obige Beweis gilt nur für zweimal stetig differenzierbare Funktionen z. Die Tatsache gilt aber auch für Funktionen z, die nur einmal stetig differenzierbar sind. Erster Beweis von E. Schmidt, Monatshefte f. Math. 48 (1939) 426–432.CrossRefGoogle Scholar
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  34. A. Ostrowski, Commentarii math. Helvetici 15 (1942) 217–221. In diesen Arbeiten ist \(g^\mu = f^{\mu ^0 } = 0\). Nach brieflicher Mitteilung von O. Perron gilt der Satz aber auch für beliebige g μ; \(f^{\mu ^0 }\).MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  35. 3).
    Für einen allgemeineren Satz, bei dem die Koeffizienten von (2) und ω noch von Parametern abhängen dürfen und der schärfere Differenzierbarkeitsaussagen enthält, s. E. Kamke, Math. Zeitschrift 49 (1943) 275ff.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  36. 4).
    A. Mayer, Mathem. Annalen 5 (1872) 459f., setzt x v − ξv = u 1 h v (u 1,..., u r) und wählt insbes. auf S. 460 (ein u ohne Index tritt also nicht auf). Ebenso verfahren spätere Autoren. Dabei wird übersehen, daß man auf diese Weise keine volle Umgebung des Punktes ξ1,..., ξr erhalten kann, da für x 1 = ξ1, notwendig alle xv = ξv, sind. Die obige allgemeinere Form der Mayerschen Transformation findet man bei Carathéodory, Variationsrechnung, S. 26.CrossRefGoogle Scholar
  37. 2).
    Zur Frage der Verringerung der Differenzierbarkeitsvoraussetzungen s. A. Haar, Acta Szeged 4 (1928) 103–114.zbMATHGoogle Scholar
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  39. 1).
    Kamke, DGlen, S. 352-358; dort ist noch f < A vorausgesetzt; das ist aber unnötig, da sich f nach dem Mittelwertsatz mittels der Ableitungen ausfeichend abschätzen läßt. Für eine andere Festlegung des Existenzbereichs des Integrals s.Google Scholar
  40. T. Ważewski, Annales Soc. Polon. Math. 13 (1934) 1–9; 14 (1935) 149-177. Zur Diskussion der Differenzierbarkeitsvoraussetzungen für f und ω s. Ważewski, a. a. O. 13 (1934) 10-12; Math. Zeitschrift 43 (1938) 521-532.Google Scholar
  41. Zur Frage der eindeutigen Bestimmtheit des Integrals vgl. A. Haar, Acta Szeged 4 (1928) 103–114. Für historische Bemerkungen s. Serret-Scheffebs, Differential-und Integralrechnung III, S. 719f.Google Scholar
  42. 2).
    Vgl. hierzu die Hilfssätze von 3.6 (c) sowie Kamke, DGlen, S. 359-362. T. Ważewski, Annales Soc. Polon. Math. 14 (1935) 149–177.Google Scholar
  43. 1).
    Vgl. Horn, Partielle DGlen, 2. Aufl., S. 161-166. Goursat, Équations du premier ordre, S. 2-6. O. Perron, Math. Zeitschrift 5 (1919) 154–160; dort auch einige historische Bemerkungen.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
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    A. Mayer, Mathem. Annalen 9 (1876) 366–369.Google Scholar
  45. 2).
    Vgl. O. Perron, Math. Zeitschrift 6 (1919) 154–160 (mit Abschätzung des Konvergenzbereiches). Vgl. ferner Goursat, Équations du premier ordre, S. 2ff., S. 11ff.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  46. 4).
    Vgl. E. Kamke, Math. Zeitschrift 49 (1943) 256–284. Im wesentlichen ist der Satz schon früher vonMathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  47. T. Ważewski, Annales Soc. Polon. Math. 13 (1934) 1–9 bewiesen.Google Scholar
  48. 1).
    E. Kamke, Math. Zeitschrift 49 (1943) 256–284.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  49. 2).
    Vgl. A. Mayer, Math. Annalen 3 (1871) 440–444. Goursat, Équations du premier ordre, S. 192 (Remarque II), S. 259-262. Bieberbach, DGlen, 3. Aufl., S. 301-314. Die Beweise müssen in Einzelheiten meistens noch präzisiert werden.CrossRefGoogle Scholar
  50. 1).
    Vgl. A. Mayer, Mathem. Annalen 3 (1871) 440ff. Goursat, Equations du premier ordre, S. 259-262.CrossRefGoogle Scholar
  51. 1).
    M. Nagumo, Japanese Journal of Math. 15 (1938) 51–56.Google Scholar
  52. Vgl. auch J. Szarski, Annales Soc. Polon. 22 (1950) 1–34.MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  53. 2).
    Vgl. E. Kamke, Math. Zeitschrift 49 (1943) 267–275; dort auf S. 269f. auch weitere Literaturangaben.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  54. 1).
    E. Kamke, Math. Zeitschrift 49 (1943) 267–275.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  55. 1).
    A. Mayer, Math. Annalen 9 (1876) 370. Goursat, Équations du premier ordre, S. 258f. Bei Forsyth, a. a. O., S. 114 steht ein falsches Vorzeichen.Google Scholar
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    Vgl. W. F. Donkin, Philosophical Transactions London 144 (1854) 71–113. Forsyth, Diff. Equations V, S. 112. Goursat, Équations du premier ordre, S. 255f.CrossRefGoogle Scholar
  57. 1).
    Vgl. A. Mayer. Math. Annalen 8 (1875) 313–318. Forsyth, Diff. Equations V, S. 127-133. Goursat, Équations du premier ordre, S. 281-286.zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  58. 1).
    C. Russyan, Communications Kharkoff (4) 8 (1934) 60–67.Google Scholar

Copyright information

© Springer Fachmedien Wiesbaden 1979

Authors and Affiliations

  • E. Kamke
    • 1
  1. 1.Universität TübingenDeutschland

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