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Experimentelles Denken: Formal symbolische Konstruktionen für den Raum

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Zusammenfassung

Stellte sich für die Operationalisierung von Methoden die angenommene Ordnung des Gegenstandsbereichs als ein zentrales Konstituens heraus, so möchte ich im nun folgenden Kapitel noch grundlegender fragen, wie wir menschliches Denken eventuell noch genuiner charakterisieren können und welche Folgen dies für unsere Sprache, Wahrnehmung und Produktion von Raum hat. Dazu will ich allerdings nicht die Philosophiegeschichte aufrollen, in der seit der Antike dem Denken als Umkehr und als Suche — als ‚sagen‘, redire oder se quaerere, sehr anschaulich reflektiert von Julia Kristeva (1997) am Begriff der Revolte — durchweg ein hoher Stellenwert eingeräumt worden ist. Vielmehr will ich meine Betrachtungen auf die Mathematik und ihre disziplinäre Entwicklung beschränken, zumal Raum für die Mathematik und infolge antiker Konzeptionierung somit für nahezu alle entstehenden Wissenschaften ein grundlegendes Denkmuster bildet/e. Die moderne Mathematik charakterisierte Felix Hausdorff1 1904 in seiner Antrittsvorlesung als „experimentelles Denken“. Ziel ist etwa seit der Jahrhundertwende das Denken und das Denkmögliche, nicht Simulationen von Realität! Die z.B. von Felix Hausdorff fraktal erzeugten Strukturen haben statt dessen „ihre eigene Realität, aus der das Simulieren, das Ähnlichmachen erst möglich wird“ (Mehr-tens, 1991, S. 604). Diese Belegung der Wirklichkeit als Aufgabe und Erfindung ist Charakteristik der wissenschaftlichen Moderne des 20. Jahrhunderts und wurde seitens der Mathematik eingeläutet.

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Literatur

  1. 1.
    Felix Hausdorff (1868–1942) war Professor für Mathematik in Leipzig, Bonn und Greifswald. Er arbeitete zu Mengenlehre und Topologie und schuf eine axiomatische Grundlage für topologische und metrische Räume (Hausdorffscher Raum). 1918 erdenkt er das mathematische Konzept der gebrochenen Dimension, ein Formalismus, mit dem heute elektronische Bilder — Apfelmännchen oder science-fiction-Welten — erzeugt werden. Sein literarisches Pseudonym war Paul Mongré.Google Scholar
  2. 2.
    über kulturell anders geprägte Konzepte kann ich in dieser Arbeit so gut wie keine Aussagen machen!Google Scholar
  3. 3.
    im Text abgekürzt mit v.u.Z.Google Scholar
  4. 4.
    Mit Sokrates von Athen (um 470–399 v.u.Z.) beginnt die klassische Periode der griechischen Philosophie. Er gilt als Begründer einer autonomen philosophischen Ethik, in derem Zentrum die Frage nach dem Guten und der Tugend steht.Google Scholar
  5. 5.
    Mit der Ideenlehre gelang es Platon (427–347 v.u.Z.) nicht nur, ein System zu schaffen, das von Sokrates’ Fragestellung ausgehend große Teile der vorsokratischen Philosophie sinnvoll aufnehmen konnte, sondern auch ein Gedankengebäude zu errichten, das lange in der abendländischen Geistesgeschichte nachwirkte. Seine um 385 v.u.Z. gegründete Schule, die Akademie, wurde erst 529 u.Z. auf Befehl des oströmischen Kaisers Justinian geschlossen, da sich die dort vertretene aristotelische These von der Ewigkeit der Welt nicht mit der christlichen Glaubenslehre vereinbaren ließ. Blütezeit des Platonismus waren die Spätantike, in der viele Differenzen zwischen den Vorstellungen Platons und Aristoteles’ eingeebnet wurden, und die italienische Renaissance (vgl. Kunzmann, Burkard & Wiedmann, 1991 ).Google Scholar
  6. 6.
    Aristoteles (384–324 v.u.Z.), vgl. Kap. 2Google Scholar
  7. 7.
    Solches belegt z.B. das Wort Naturgeschichte als Synonym zu Naturkunde.Google Scholar
  8. 8.
    Technik als „Handhabung, (Herstellungs-)Verfahren, Arbeitsweise; Hand-, Kunstfertigkeit“ stammt vom griechischen téchne, was „Handwerk, Kunst(-fertigkeit)” bedeutet und zusammenhängt mit dem tékton, dem „Zimmermann, Baumeister“ (vgl. auch Architekt als „Oberzimmermann”).Google Scholar
  9. 9.
    Diese sind nicht zu verwechseln mit dem heute z.B. in der Rechnertechnik verwendeten Dualsystem, das zur Schreibweise jeglicher Zahl geeignet ist.Google Scholar
  10. 10.
    Adam Rieß (1492–1559) wirkte als Rechenmeister und Hofarithmetikus in Zwickau, Erfurt und Annaberg. Er verfaßte mehrere Lehrbücher des praktischen Rechnens, ein kaufmännisches Tabellenwerk sowie eine Einführung in die Algebra. Seine Rechenbücher hatten erheblichen Einfluß auf den Unterricht an deutschen Schulen.Google Scholar
  11. 11.
    Der Zwang der zahlenmäßigen Ordnung erzeugte aus heutiger Sicht auch ungewohnte Kategorien:— zwei hat die gleiche etymologische Wurzel wie Du und stand für jegliches Gegenüber: Pythagoras-Schüler entwickelten z.B. eine Tabelle mit den zehn wichtigsten Gegensatzpaaren — die 10 als Summe der ersten vier Zahlen wurde von ihnen als besonders verehrungswürdig angesehen;— drei stand synonym für die Familie bestehend aus Vater, Mutter, Kind;— vier stand synonym für Himmelsrichtungen: Osten, Norden, Westen, Süden; Altersstufen des Menschen: Kindheit, Jugend, Erwachsensein und Alter; Körpersäfte: Blut, Lymphe, Galle und schwarze Galle sowie diesen entsprechende Temperamente: sanguinisch, phlegmatisch, cholerisch und melancholisch; Elemente: Erde, Wasser, Luft und Feuer; Tageszeiten: Morgen, Mittag, Abend und Nacht;— sieben war die Mond-Phasen-Zahl, wobei Mond die gleiche etymologische Wurzel hat wie messen, und stand weiterhin für Kopföffnungen: Augen, Ohren, Nasenlöcher und Mund; Planeten: Mond, Merkur, Venus, Sonne, Mars, Jupiter und Saturn; Metalle: Silber, Quecksilber, Kupfer, Gold, Eisen, Zinn und Blei; Regenbogen-Farben: rot, orange, gelb, grün, blau, indigo und violett (vgl. van Os, 1968). So wurde im Prinzip jedes Ding zur Verkörperung einer bestimmten Zahl und führte zur Vermutung, daß jedes Ding aus Teilen aufgebaut ist.Google Scholar
  12. 12.
    Pythagoras von Samos (um 570–500 v.u.Z.) war für 20 Jahre zum Studium in Ägypten. Um 530 mußte er von Samos nach Kroton (Unteritalien) fliehen, wo er einen Orden gründete. Er predigte die Unsterblichkeit der Seele, forderte Enthaltsamkeit und Mäßigung und lehrte Astronomie, Mathematik, Musikwissenschaft und Philosophie. An konkreten Ergebnissen der pythagoreischen Schule gelten bis heute der entsprechend benannte Satz fdr rechtwinklige Dreiecke, der Existenzbeweis für irrationale Zahlen, das Bild der im All schwebenden kugelförmigen Erde sowie der Zusammenhang zwischen Tönen und Saitenlängen von Musikinstrumenten (vgl. Simonyi, 1990, S. 66 ).Google Scholar
  13. 13.
    Parmenides (um 540–470 v.u.Z.) lehrte in Elea (Unteritalien) die „Einheit des Seins“ und bestritt die Existenz von Nicht-Sein: Ein Ding ist nur soweit existent, wie es sich widerspruchsfrei denken läßt. Folglich muß das alles erfüllende Sein unbewegt und unveränderlich sein. Sinneserfahrungen des Alltags hinsichtlich Veränderung werden als trügerisch und dem Schein verfallen erklärt, so daß empirische Anschauung und Vernunfterkenntnis strikt zu trennen sind. Die zur etwa gleichen Zeit von Heraklit (um 550–480) vertretene Gegenposition des „Alles fließt und nichts bleibt” konnte sich nicht durchsetzen und wurde erst in der Epoche der Renaissance wiederbelebt. Eine Wissenschaft… ist eine Folge von Sätzen über die Elemente eines und desselben Bereiches, die folgende Eigenschaften hat: Die Sätze dieser Folgen zerfallen in Grundsätze und Lehrsätze.DDie in den Sätzen dieser Folge auftretenden Begriffe zerfallen in Grundbegriffe und abgeleitete Begriffe. B. Von den Grundsätzen ist folgendes zu verlangen:VSie müssen unmittelbar evident und darum unbeweisbar sein.SSie müssen hinlänglich sein, in dem Sinne, daß außer ihnen für den Beweis der Lehrsätze nur noch die Regeln der Logik erforderlich sind.LDie Grundsätze müssen Notwendigkeitsbehauptungen sein. C. Von den Grundbegriffen ist folgendes zu verlangen:VSie müssen unmittelbar verständlich und darum undefinierbar sein.sSie müssen hinlänglich sein, in dem Sinne, daß außer ihnen für die Konstruktion der abgeleiteten Begriffe nur noch gewisse Verknüpfungsoperationen erforderlich sind“ (Meschkowski, 1979, S. 61).Google Scholar
  14. 14.
    In einer auf bestimmten Axiomen aufgebauten mathematischen Theorie geht es um syntaktische Widerspruchsfreiheit. D.h., daß eine kontradiktorische Aussageform wie „A gilt zugleich mit Nicht-A“ nicht ableitbar sein darf. Das erfordert jeweils Hilfsmittel, die aus dem Kalkül herausführen, in dem die Axiome formuliert sind. Für viele Gebiete der Mathematik ist diese (klassische) Widerspruchsfreiheit bislang nicht bewiesen (vgl. Reinhardt & Soeder, 1974) und eventuell nicht beweisbar!Google Scholar
  15. 15.
    Wenn bei der Aufstellung eines Axiomensystems Unabhängigkeit gefordert wird, darf keines der Axiome aus den vorhergehenden ableitbar sein.Google Scholar
  16. 16.
    Syntaktisch vollständig ist ein Axiomensystem bei maximaler Widerspruchsfreiheit, d.h., wenn bei Erweiterung um eine nicht aus ihm ableitbare Aussage der Theorie sämtliche Aussagen ableitbar werden. Deduktiv vollständig ist ein System, wenn zu jeder selbst in der Theorie ableitbaren Aussage auch deren Negat ableitbar ist.Google Scholar
  17. 17.
    Euklid (um 300 v.u.Z.) erhielt seine Ausbildung vermutlich an der Platonischen Akademie und wirkte später am Museion in Alexandria. Außer den,Elementen` verfaßte er bedeutsame Schriften zur geometrischen Optik, zur Kegelschnittlehre, zu planimetrischen Problemen, zur Fixstemastronomie und zur Musiktheorie.Google Scholar
  18. 18.
    Ptolemaios II. Philadelphos (308–246 v.u.Z.) war ägyptischer König seit 283Google Scholar
  19. 19.
    Die fünf Postulate Euklids als Grundgesetze der elementaren Geometrie lauten: „Gefordert soll sein:1. Daß man von jedem Punkt nach jedem Punkt eine gerade Strecke ziehen kann,2. Daß man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern kann,3. Daß man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann,4. Daß alle rechten Winkel einander gleich sind,5. Und daß, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt, daß innen auf derselben Seite entstehende Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte werden, dann die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins Unendliche sich treffen auf der Seite, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind“ (Euklid, 1980, S. 2f.).Google Scholar
  20. 20.
    Guiseppe Peano (1858–1932) war Professor in Turin. Er arbeitete insbesondere über die Grundlagen der Mathematik, zur Entwicklung mathematischer Logik sowie zur Theorie der Punktmengen und der gewöhnlichen Differentialgleichungen. „Erst (Carl Friedrich) Gauß21 erkannte 1816 die Unbeweisbarkeit des Parallelenaxioms. Indem er eine von Widersprüchen freie Nichteuklidische Geometrie aufbaute, in der nicht das Euklidische, sondern ein gegenteiliges Parallelenaxiom gilt, tat Gauß den ersten Schritt über Euklid hinaus…. Weil man seit den Griechen überzeugt war, daß nur eine Geometrie existent und denkmöglich ist, und (Immanuel) Kant diese Überzeugung philosophisch dahin begründete, daß der Raum die uns eingeborene Form des äußeren Sinnes sei, erschloß die Aufstellung der Nichteuklidischen Geometrie auch der Erkenntnistheorie neue Einsichten ” (Strubecker, 1972, S. 2 ).Google Scholar
  21. 21.
    Carl Friedrich Gauß (1777–1855) war nicht nur (in Göttingen) Astronom und Physiker, sondern gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker aller Zeiten. Zahlreiche seiner Arbeiten wurden erst durch die Veröffentlichung seines Nachlasses bekannt — so auch seine Schriften zur nichteuklidischen Geometrie.Google Scholar
  22. 22.
    Algebra stammt aus dem Arabischen von al-gabr und bedeutete genuin die Einrenkung gebrochener Teile, später dann die Wiederherstellung der normalen Gleichungsform. Damit ist Algebra ursprünglich die Lehre von den Gleichungen und ihrer Auflösung.Google Scholar
  23. 23.
    Muhammad Ibn Musa (Al) Chwarismi (um 780–846) wirkte als Mathematiker und Astronom am Hofe des Kalifen Al Mamun in Bagdad. Der Begriff des Algorithmus leitet sich von seinem Namen her.Google Scholar
  24. 24.
    Demokrit aus Abdera (um 460–370 v.u.Z.) arbeitete im Anschluß an Leukipp konsequent eine Atomtheorie aus, die zwischen dem Monismus der Eleaten und dem Qualitätenpluralismus von Anaxagoras und Empedokles vermittelt: Alle Qualitäten werden auf Form, Lage und Größe inkompressibler, undurchdringlicher und unveränderlicher, unendlich vieler Atome zurückgeführt, die sich im leeren Raum bewegen. Materie und Bewegung sind unvergänglich; Werden und Vergehen sind nur ein Umordnen von Atomen.Google Scholar
  25. 25.
    Zenon aus Elea (um 495–435 v.u.Z.) war Schüler und Nachfolger des Parmenides als Schulhaupt der Eleaten. Er versuchte mit dialektischen Kunstgriffen die Unmöglichkeit der Vielheit, Bewegung und Teilbarkeit und damit die Einheit und Unveränderlichkeit des Seins zu beweisen.Google Scholar
  26. 26.
    Als Paradoxie wird ein Widerspruch bezeichnet, der aus einsichtig erscheinenden Axiomen und korrekten Schlußregeln abgeleitet worden ist. Um eine Paradoxie zu vermeiden, muß man neue Begriffe einführen, Axiome fallenlassen oder den Gültigkeitsbereich von Schlußregeln und Definitionen begrenzen. Ein Beispiel für eine Paradoxie: Dieser Satz ist falsch. Ist er richtig, ist er falsch; ist er falsch, ist er richtig. Auflösung: Man muß,zitieren`, d.h., eine andere, übergeordnete Sprachebene einführen: Der Satz,Dieser Satz ist falsch’ ist falsch“ (Eisenhardt, Kurth & Stiehl, 1995, S. 286 ).Google Scholar
  27. 27.
    Für das Kontinuum steht heute die „Mächtigkeit der reellen Zahlen. Die Zahlen, die man z.B. durch einen nichtabbrechenden Dezimalbruch darstellen kann, sind so viele, daß man sie nicht abzählen, den natürlichen Zahlen eindeutig zuordnen kann. Von daher ist ein Kontinuum eine mathematische Struktur, die man nicht in Einzelelemente oder Punkte zerlegen kenn. Die,Punkte` liegen so,gedrängt`, daß man nicht auf sie zugreifen kann“ (Eisenhardt, Kurth & Stiehl, 1995, S. 284 ).Google Scholar
  28. 28.
    Eudoxos aus Knidos (um 410–355 v.u.Z.) war Schüler Platons und trat nach verschiedenen Forschungsreisen um 367 der Platonischen Akademie bei, deren amtierender Vorsteher er bei Aristoteles’ Eintritt war. Er wirkte als Mathematiker, Naturforscher und Philosoph. Bezüglich der Mathematik waren seine bedeutsamsten Leistungen die Schaffung einer Proportionen-und Ähnlichkeitslehre sowie seine Lehre von den Kegelschnitten, weiterhin stammt von ihm die Exhaustionsmethode und ein erstes Stetigkeitsaxiom.Google Scholar
  29. 29.
    Irrationale Zahlen lassen sich nicht durch Brüche ganzer Zahlen darstellen, sondern nur durch unendliche, nichtperiodische Dezimalzahlen. Unterschieden werden algebraisch-irrationale Zahlen wie die Wurzel 2, die einer algebraischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten genügen, und transzendent-irrationale Zahlen, bei denen letzteres nicht zutrifft, wie die Ludolfsche Kreis-Zahl It.Google Scholar
  30. 30.
    Der Begriff des Potentiell-Unendlichen beruht auf der Tatsache, daß es zu jeder natürlichen Zahl eine größere gibt. Neben diesem abzählbar Unendlichem gibt es, z.B. bezogen auf die Menge der reellen Zahlen, insbesondere in der Mengenlehre das überabzählbare AktualUnendliche. Durch das Konstrukt der Mächtigkeit bleibt eine Ordnungsrelation zwischen solchen Mengen möglich.Google Scholar
  31. 31.
    Galileo Galilei (1564–1642) wurde berühmt durch seine Fall-und Bewegungsgesetze sowie sein Eintreten für die kopernikanische Lehre. Für ihn war das Wesen der Wirklichkeit durch Zahlenverhältnisse bestimmt: Nur wer die mathematischen Zeichen zu lesen und in Gesetze zu fassen verstehe, erlange objektive Erkenntnis; an wissenschaftlicher Erkenntnis sind Vernunft und Beobachtung gleichermaßen beteiligt (vgl. Kunzmann, Burkard & Wiedmann, 1991 ). So begründete er eine neue Auffassung von der Möglichkeit von (physikalischer) Erkenntnis: Nicht nach dem Warum, sondern nach dem Wie eines Prozesses sei zu fragen, denn nur darin könne die menschliche Ratio Einblick gewinnen.Google Scholar
  32. 32.
    Bei René Descartes (1596–1650) verbinden sich die Skepsis gegenüber der Tradition mit der Hochschätzung der Vernunft zu einem aufklärerischen Werk. Von Anfang an galten seine Bemühungen erkenntnistheoretischen, mathematischen und physikalischen Fragestellungen. Der Mathematiker Descartes nimmt die Erfolge der exakten Naturwissenschaften und die Methode der Mathematik auf. Weitere aufklärerische Momente seiner Philosophie sind die starke Betonung des Subjekts und der Wille zu größtmöglicher Gewißheit. Mit seinem skeptischen Rückzug auf das erkennende Subjekt begründete Descartes einen Hauptzug der neuzeitlichen Philosophie (vgl. Kunzmann, Burkard & Wiedmann, 1991 ). Nach ihm benannt wird bis heute bei rechtwinkligen Koordinaten von kartesischen gesprochen, entsprechend vom kartesischen Produkt in der Mengenlehre etc.. Der Kartesianismus als philosophische Teilrichtung des Mechanismus im 17. und 18. Jahrhundert führte die von Descartes begründete Methodologie weiter.Google Scholar
  33. 33.
    Die Analytische Geometrie erfaßt und untersucht geometrische Gebilde mit algebraischen Hilfsmitteln. Um Punkte festzulegen, verwendet sie dabei reelle Zahlen oder Elemente eines anderen Körpers als Koordinaten. Der Beschreibung der gegenseitigen Lage von Punkten dient der Begriff des Vektors.Google Scholar
  34. 34.
    Analysis heißt im Griechischen Auflösung. Der Begriff wurde lange Zeit nahezu synonym mit Algebra verwendet. Verbreitung fand der Ausdruck speziell für die Leibnizsche und Newtonsche Infinitesimalrechnung (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646–1716; Isaac Newton, 1643–1727). Heute geht es in der Analysis um die Behandlung von Grenzprozessen. Das Teilgebiet umfaßt die Infinitesimalrechnung mit Differential-und Integralrechnung sowie der Theorie der Differential-und Integralgleichungen, Differential-und Integralgeometrie, Funktionentheorie, Funktionalanalysis und Variationsrechnung.Google Scholar
  35. 35.
    Das Cauchysche Konvergenzkriterium (Augustin Cauchy, 1789–1857) besagt, daß eine Folge genau dann konvergiert, wenn der Unterschied beliebiger Folgenglieder mit genügend großem Index kleiner als jede vorgegebene reelle Zahl ist. Damit wird die Frage nach unendlicher Teilbarkeit bzw. nach dem kleinsten unteilbaren Teil umgangen, die Demokrit (um 460 —370 v.u.Z.) gestellt und mit seiner Definition des Atoms anders beantwortet hatte.Google Scholar
  36. 36.
    Richard Dedekind ( 1831 — 1916) war Schüler und Nachfolger von Carl F. Gauß und wirkte später in Zürich und Braunschweig. Er war einer der Begründer der modernen Algebra. Seine Schriften beziehen sich auf die Gruppentheorie, die Idealtheorie, auf die Theorie der algebraischen Zahlen sowie auf die Mengenlehre, in der er einen Existenzbeweis für unendliche Mengen und eine besondere Definition der Endlichkeit lieferte.Google Scholar
  37. 37.
    Zu den fundamentalen Begriffen moderner Mathematik gehört der Relationsbegriff, dem das kartesische Produkt von Mengen zugrunde liegt. Relationen stellen Beziehungen zwischen den Elementen einer Menge oder denen verschiedener Mengen her. Einerseits ergeben sich daraus die Abbildungen als besonders wichtige spezielle Relationen, andererseits erzeugen die Relationen die Strukturen auf Mengen.Google Scholar
  38. 38.
    Die formalistische Auffassung vom Aufbau der Mathematik — im Sinne des Mathematikerinnenteams unter dem Pseudonym Nicolas Bourbaki (vgl. FN 47) — löst das Nebeneinander abgeschlossener mathematischer Disziplinen auf. Eine Besinnung auf die axiomatische Festlegung verschiedener Theorien zeigt gemeinsame Grundstrukturen:a) Einer Menge wird eine algebraische Struktur aufgeprägt, wenn in ihr eine oder mehrere Verknüpfungen erklärt sind, wie etwa Addition und Multiplikation in Zahlenmengen oder die Multiplikation von Vektoren mit Skalaren. Mit der Untersuchung algebraischer Strukturen beschäftigt sich vorwiegend die Algebra.b) Einer Menge wird eine Ordnungsstruktur aufgeprägt, wenn in ihr eine Ordnungsrelation erklärt ist. Im weitesten Sinne bedeutet dies, daß es in einer Menge nach bestimmten Regeln vergleichbare Elemente gibt, wie das im speziellen Fall bei Zahlenmengen durch die Relation, geschieht. Die Theorie der Ordnungsstrukturen ist eng verknüpft mit der Mengenlehre.c) Einer Menge wird eine topologische Struktur aufgeprägt, wenn in ihr ein System von Teilmengen M mit bestimmten Eigenschaften ausgezeichnet wird. Die topologische Struktur ist grundlegend für den Konvergenzbegriff, der in der Topologie mit dem Filterbegriff allgemeiner als in der Analysis gefaßt werden kann. Eine Menge mit einer topologischen Struktur heißt topologischer Raum. Eine multiple Struktur ist eine Mischstruktur: So treten z.B. in 9t, dem Raum der reellen Zahlen, alle drei Grundstrukturen in spezieller Form auf (vgl. Reinhardt & Soeder, 1974 ).Google Scholar
  39. 39.
    Dimension heißt „Ausdehnung, Ausmaß, Bereich“ und stammt vom lateinischen dimetiri = „nach allen Seiten hin abmessen”. Im mathematischen Sprechen geht es um die Ausdehnung einer Form: Ein Punkt kann nicht zerteilt werden und hat die Dimension 0 - und damit keine Ausdehnung, nur eine Lage. Ein Punkt zerteilt eine Kurve - sie hat daher die Dimension 1. Eine Kurve zerteilt eine Fläche - diese hat somit die nächsthöhere Dimension, nämlich 2. Eine Fläche kann einen Körper der Dimension 3 zerteilen. Es sind mathematisch auch Ausdehnungen möglich, die nur von einem Körper zerteilt werden usw.Google Scholar
  40. 40.
    Eine Menge M heißt metrischer Raum,wenn auf M eine Metrik erklärt ist, d.h., wenn eine Abbildung d: M*M -+ 9ïo+ existiert mit den Eigenschaften(1) d(x,y) = 0 q x=y als Definitheit;(2) d(x,y) = d(y,x) als Symmetrie;(3) d(x,y) + d(y,z) d(x,z) als Dreiecksungleichung. d(x,y) kann als Abstand von x und y aufgefaßt werde.Google Scholar
  41. 41.
    Carl Friedrich Gauß (1777–1855) wirkte als Professor für Mathematik, Physik, Astronomie in Göttingen; Nikolai Ivanovic Lobatschewski (1792–1856) war russischer Mathematiker; Jânos Bolyai (1802–1860) war ungarischer Mathematiker; Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866) wirkte als Professor für Mathematik in Göttingen.Google Scholar
  42. 42.
    Damit ebnete er wieder der nun modernen,reinen Mathematik` den Weg. Gerade an der Frage des Raumes zog er die Trennungslinie zwischen Mathematik und Physik. Der Raum der wirklichen Welt ist Sache der Physik. Die Mathematik klärt die Begriffe; ob und wie sie auf die Welt passen, ist nicht mehr ihre Sache. Damit war zugleich der Weg in die mathematische Moderne gefunden (Mehrtens, 1991, S. 607). Die daraus ebenfalls folgemde Trennung von Wissenschaft und Technik wurde auch als,zweite wissenschaftliche Revolution’ bezeichnet. Wissenschaft sah sich vorerst entlastet vom Zwang, ihre Nützlichkeit ständig sichtbar ausweisen zu müssen! Solches ändert sich derzeit wieder.Google Scholar
  43. 43.
    Georg Cantor (1845–1918) war Professor in Halle. Er arbeitete zunächst über Zahlentheorie und Fourier-Reihen, um sodann mit seiner Theorie der Punktmengen bzw. der transfiniten Zahlen die Mengenlehre zu begründen.Google Scholar
  44. 44.
    Karl Weierstraß (1815–1897) war zunächst Lehrer und später Professor für Mathematik in Berlin. Er gehörte zur sogenannten,Berliner Schule und prägte zusammen mit Bernhard Riemann die moderne Funktionentheorie.Google Scholar
  45. 45.
    Leopold Kronecker (1823–1891) wurde erst 1883 als Professor nach Berlin berufen. Er arbeitete hauptsächlich über Arithmetik, Algebra und insbesondere über die Theorie elliptischer Funktionen.Google Scholar
  46. 46.
    David Hilbert (1862–1943) war Professor in Königsberg und in Göttingen. Er arbeitete über die Invariantentheorie, die Theorie algebraischer Mannigfaltigkeiten, die Theorie der Ideate und wurde namentlich verewigt durch seine Überlegungen hinsichtlich Integralgleichungen „den Verzicht auf,Wahrheit’ in der Mathematik und die Beschränkung auf ‚Widerspruchsfreiheit’, den Rückzug von den Existenzaussagen über eine reale Ideenwelt auf den Umgang mit funktionierenden Formalismen” (Meschkowski, 1979, S. 60).für die Funktionalanalysis: Der Hilbertraum als linearer, metrischer, vollständiger Raum spielt auch für Berechnungen in der physikalischen Quantentheorie eine wesentliche Rolle. Für die algebraische Zahlentheorie schuf er eine neue einheitliche Darstellung und nahm wesentlichen Einfluß auf eine Neuaxiomatisierung der Geometrie.Google Scholar
  47. 47.
    Nicolas Bourbaki ist das Pseudonym für eine Gruppe (durch Zuwahl und Austritt mit 50 Jahren) junger, französischer und amerikanischer Mathematikerinnen des 20. Jahrhunderts. Seit 1939 geben sie die,Éléments de mathématique heraus. Zu den Begründern der Gruppe gehörten Henri Cartan (1904), Claude Chevalley (1909), Jean Dieudonné (1906) & André Weil (1906) (vgl. Meschkowski, 1986, S. 196f ).Google Scholar
  48. 48.
    Kurt Gödel (1906–1978) war — als aus Österreich stammender Logiker — Professor in Princeton. Er bewies 1930 die Vollständigkeit der klassischen Quantorenlogik und veröffentlichte zahlreiche Arbeiten zur intuitionistischen Logik sowie zur wissenschaftstheoretischen Diskussion um die Einsteinsche Relativitätstheorie. Mittels,Gödelisierung` formulierte er seinen Unvollständigkeitssatz, der zu den wichtigsten Resultaten der Metamathematik zählt, wobei die Vorgehensweise entsprechend zur Standardmethode avancierte.Google Scholar
  49. 49.
    Albert Einstein (1879–1955) war zunächst Professor für theoretische Physik in Zürich, Prag und Berlin/Potsdam; er emigrierte 1933 in die USA nach Princeton. Mit seinen Arbeiten revolutionierte er die Grundlagen der Physik und wurde zum bedeutendsten Physiker des 20. Jahrhunderts. Ausgehend von einer fundamentalen Kritik der Raum-und Zeitmessung entwickelte er 1905 die spezielle Relativitätstheorie. Aus den daran anschließenden Überlegungen folgerte 1914–16 die allgemeine Relativitätstheorie. In logischer Fortführung dieser Arbeiten versuchte er seit 1920 eine „einheitliche“ Feldtheorie aufzustellen, die außer der Gravitation auch die Elektrodynamik umfassen sollte. Deren Entwicklungsstand ist jedoch bis heute noch inkompatibel zu Erfordernissen der Quantentheorie sowie der Kern-und Elementarteilchenphysik. Den Nobelpreis für Physik erhielt Einstein 1921 für seine Beiträge zur Quantentheorie, insbesondere seine Deutung des Photoeffekts.Google Scholar
  50. 50.
    Als Operationalismus galt die philosophische Lehre, welche Meßvorschriften und Anweisungen zum Bau von Meßinstrumenten und experimentellen Anordnungen als wesentlich für die Konstruktion der Wirklichkeit erachtet. Im radikalen Sinn ist ein Begriff eine Klasse von Meßoperationen. Auf jeden Fall muß für den Operationalismus völlig sichergestellt sein, daß man jederzeit darüber entscheiden kann, ob ein Begriff auf einen Gegenstand zutrifft oder nicht“ (Eisenhardt, Kurth & Stiehl, 1995, S. 286 ).Google Scholar
  51. 51.
    Neben Kronecker als Begründer gelten als weitere bekannte Vertreter des Intuitionismus/Konstruktivismus Emile Borel (1871–1956), Luitzen Brouwer (1881–1966), Arend Heyting (1898–1980), Henri Poincaré (1854–1912) und Hermann Weyl (1885–1955).Google Scholar
  52. 52.
    Dieses besagt, daß eine dritte Möglichkeit zwischen,wahr` und,falsch` nicht besteht. Erst der Konstruktivismus/Intuitionalismus des 20. Jahrhunderts verzichtet zur Vermeidung von Antinomien auf die These von der Zweiwertigkeit aller Aussagen und führt so zur Entwicklung einer effektiven Logik. Diese effektive oder intuitionistische Logik wurde zuerst von A. Heyting 1930 kalkülisiert.Google Scholar
  53. 53.
    Christian Felix Klein (1849–1925) wirkte als Professor für Mathematik in Erlangen, München, Leipzig und Göttingen. Bis heute ist seine Didaktik bedeutsam. Er arbeitete nicht nur auf fast allen Gebieten der reinen und angewandten Mathematik, sondern begründete auch die,Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften’.Google Scholar

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