Stochastische Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Ein deterministisches dynamisches System (etwa auf ℝ^d ) wird beschrieben durch eine Differentialgleichung ̇ = ß(t, y) oder auch durch deren Lösungsfluß, also eine Familie von Abbildungen,

$$\mathop \Phi \nolimits_{s,t} :\mathop \mathbb{R}\nolimits^d \to \mathop \mathbb{R}\nolimits^d ,s \leqslant t,$$

so daß y^s,x(t):= Φ _s,t (x) die zur Zeit s in x startende Lösung der Differentialgleichung ist. Unterliegt das System zufälligen äußeren Einflüssen, so bieten sich alternative stochastische Beschreibungen an. Einerseits wissen wir nach Beispiel 1.27 iv), daß als Folge der Flußgleichungen die (deterministischen) Markovkerne $\mathop K\nolimits_{s,t} \left( {x, \cdot } \right) = \mathop \delta \nolimits_{\mathop \Phi \nolimits_{s,t} \left( x \right)}$ eine Halbgruppe auf ℝ^d bilden, so daß allgemeine Markovprozesse, insbesondere Diffusionen, als stochastische Verallgemeinerungen dynamischer Systeme anzusehen sind. Andererseits ist es naheliegend, die deterministische Differentialgleichung ̇ = ß(t, y) durch Addition eines Fluktuationstermes σ(t,y) W _t mit einem geeigneten „Rauschprozeß“ W zu ergänzen. Wählt man im Hinblick auf die (in Kapitel 5 dargelegte) universelle Rolle der Brownschen Bewegung für W das „weiße Rauschen“, also die Brownsche Geschwindigkeit (vgl. Abschnitt 2.3), so schreibt sich die fundamentale stochastische Differentialgleichung in Integralform als

$$\mathop Y\nolimits_t = \mathop Y\nolimits_0 + \int_0^t {\beta \left( {s,\mathop Y\nolimits_S } \right)} ds + \int_0^t {\sigma \left( {s,\mathop Y\nolimits_s } \right)} d\mathop B\nolimits_S $$

mit dem stochastischen Integral nach der BM B im Rauschterm. Es ist Itô’s Verdienst [IT 51], den Zusammenhang der Lösungen dieser Gleichung mit Diffusionen erkannt zu haben und damit eine Möglichkeit zur pfadweisen Konstruktion von Diffusionsprozessen ohne den Umweg über die Markov-Halbgruppe ihrer Übergangswahrscheinlichkeiten gefunden zu haben.