Martingaltheorie

Zusammenfassung

Wir haben im letzten Abschnitt bereits zwei große Klassen von stochastischen Prozessen kennengelernt: Gaußprozesse und Markovprozesse. Erstere sind durch eine Verteilungsklasse (die Gaußmaße; Abschnitt 1.6) definiert, während Markovprozesse durch ein stochastisches Prinzip (die „Gedächtnislosigkeit“, in Abschnitt 2.5 in verschiedenen Varianten als elementare bzw. schwache Markoveigenschaft präzisiert) charakterisiert sind. In diesem Kapitel wird für reellwertige Prozesse ein weiteres fundamentales Aufbauprinzip formuliert, die „Konstanz (bzw. Monotonie) im bedingten Mittel“. Diese wiederum mit Hilfe bedingter Erwartungen ausgedrückte Gesetzmäßigkeit hat weitgehende Folgen für das pfadweise Konvergenzverhalten des Prozesses: es garantiert die Existenz einseitiger Grenzwerte für fast alle Pfade. So lassen sich insbesondere die starken Gesetze großer Zahlen, aber ebenso die Möglichkeit rechtsstetiger Modifikationen von Markovprozessen, auf die starken (d. h. pfadweisen) Grenzwertsätze der Martingaltheorie zurückführen. Die Brownsche Bewegung, schon als prominentestes Beispiel für Gauß- und Markovprozesse erkannt, ist — trotz „wildester“ Fluktuation ihrer Pfade (vgl. Satz 2.16) — dennoch konstant im bedingten Mittel und damit ein hervorragendes Beispiel auch dieser Klasse von stochastischen Prozessen. Das Kapitel schließt mit einem Blick auf Diffusionen — ihre Pfadeigenschaften, infinitesimale Erzeuger und über Martingaltheorie ihre Verbindung mit dem Dirichletproblem elliptischer Differentialoperatoren.