Weiterführung der Ringtheorie

Zusammenfassung

Das Bild der Algebra hat sich im Laufe der Jahrhunderte gewandelt. Ausgangspunkt der klassischen Algebra waren Untersuchungen über die Lösungen von Gleichungen; dies wird auch durch den Titel des arabischen Buches deutlich, durch das das Abendland mit den indisch-arabischen Ziffern bekannt wurde: „algabr walmukabalah“, was soviel wie Hinüberbringen bedeutet. Selbst wenn man sich auf algebraische Gleichungen beschränkt (was wir darunter verstehen wollen, wird weiter unten definiert werden), sind die auftretenden Probleme bis heute nicht gelöst. So ist nicht bekannt, ob es für beliebige Zahlen n ≥ 3 stets x, y, z ∈ N gibt, so daß xⁿ + yⁿ = zⁿ ist; bei n = 1 (1¹ + 1¹ = 2¹) und n = 2 (3² + 4² = 5²) ist dies noch der Fall. Dies ist das berühmt-berüchtigte große Problem von Fermat (1601 bis 1665), der behauptete, daß solche Zahlen nicht existieren, aber keinen Beweis hinterließ. Parallel zur Untersuchung derart „praktischer“ Probleme hat sich eine „moderne“ Algebra herausgebildet, die die Untersuchung der Eigenschaften von Operationen als ihre Hauptaufgabe ansieht. Es entstand eine axiomatische Theorie „Algebra“, die sich selbst wieder in eine Vielzahl von Spezialtheorien gliedert, je nachdem welches algebraische Objekt untersucht wird. Als Beispiele seien nur die Gruppentheorie, die Theorie der Ringe, die lineare Algebra und die Boolesche Algebra genannt. Van der Waerdens Bücher über diese „Moderne Algebra“ [61], die erstmals in den dreißiger Jahren erschienen, lieferten einen wichtigen Beitrag zur Formulierung und Verbreitung dieses Ansatzes.