Endliche Gruppen

Zusammenfassung

Wir haben im vorigen Kapitel bei der Behandlung spezieller Gruppenhomomorphismen alle Gruppen von Primzahlordnung kennengelernt. Außerdem wissen wir, daß es genau zwei Gruppen der Ordnung 4 gibt, nämlich die Kleinsche Vierergruppe und die Z₄. Damit sind uns für gewisse Ordnungen n ∈ N die Gruppen dieser endlichen Ordnung bekannt. In diesem Paragraphen wollen wir für „kleine“ natürliche Zahlen n die Gruppen dieser Ordnung bestimmen. Diese Vorgehensweise ist aus zwei Gründen sinnvoll. Zum einen spielen endliche Gruppen (kleiner Ordnung) im Unterricht eine ausgezeichnete Rolle, zum andern ist die Bestimmung aller Gruppen einer vorgegebenen Ordnung eine Aufgabe, die die Gruppentheoretiker in aller Welt auch heute noch beschäftigt und bisher nicht gelöst ist. Den Stand von 1977 der Untersuchungen in dieser Richtung schildert ein Artikel aus dem SPIEGEL [70], den wir wiedergeben. Zu seinem Verständnis sei erwähnt, daß eine Gruppe G mit mehr als einem Element einfach heißt, wenn sie außer G und {e} (e bezeichne dabei das neutrale Element von G) keine Normalteiler besitzt. Uns ist bekannt, daß die Gruppen von Primzahlordnung einfach sind; ferner weiß man, daß jede einfache Gruppe ungerader Ordnung isomorph zu einer solchen ist. Problematisch ist die Bestimmung der einfachen Gruppen gerader Ordnung; hierauf verweist auch der unten zitierte Artikel, der eine Motivation für die weiteren Untersuchungen in diesem Paragraphen darstellt.