Randwertprobleme, Relaxation

Zusammenfassung

Viele Probleme der mathematischen Physik führen auf Randwertaufgaben bei partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus. Das Dirichlet Problem mit der ihm zugrunde liegenden Laplace schen Differentialgleichung Δu = 0 gehört zu dieser Klasse von Aufgaben. Diese Probleme haben die Eigenschaft, se1bstadjungiert zu sein. Es ist deshalb angebracht, für diese Aufgaben spezielle numerische Methoden anzuwenden, welche die Selbstadjungiertheit ausnützen. Der Schlüssel dazu wird durch die Tatsache geliefert, daß sich die selbstadjungierten Probleme als Variationsaufgaben formulieren lassen, indem ein bestimmter zugehöriger Integralausdruck in der gesuchten Funktion extremal gemacht werden soll. Im Fall des Dirichlet Problems ist es das Dirichlet Integral. Das Variationsintegral läßt sich in den Anwendungen der Elastizitätstheorie als Energie interpretieren, weshalb man von der Energiemethode spricht. Für die Praxis ist es besser, das Variationsproblem unmittelbar nach dem Prinzip des direkten Angriffs zu behandeln und die Randwertaufgabe zu vergessen. Zum Zweck der Diskretisation der kontinuierlichen Aufgabe wird das Variationsintegral approximiert und die entstehende quadratische Funktion in den diskreten Funktionswerten extremal gemacht. Die quadratischen Terme bilden eine quadratische, positiv definite Form, so daß dadurch der Anschluß an die Methoden der Relaxation hergestellt wird.