Orthogonalisierungsverfahren und überbestimmte Gleichungssysteme

Zusammenfassung

Das bekannte Orthogonalisierungsverfahren in einem Vektorraum mit Skalarprodukt bildet nach dem Gaußschen Eliminationsverfahren einen weiteren, wichtigen Algorithmus der linearen Algebra. Anschließend werden zunächst das Orthogonalisierungsverfahren und der Satz über die Existenz, Eindeutigkeit und Konstruktion oder Berechnung orthogonaler Projektionen von Vektoren in einen Teilraum gebracht. Als Anwendung hiervon behandelt der zweite Abschnitt die sogenannten überbestimmten Gleichungssysteme und ihre Lösung nach der Methode des kleinsten Fehlerquadrats, die schon von Gauß zur Auswertung seiner geodätischen und astronomischen Messungen angewandt wurde. In diesem Zusammenhang formulieren wir mit Hilfe des Orthogonalisierungsverfahrens ein Verfahren zur Lösung von inhomogenen und darüber hinaus von überbestimmten Gleichungssystemen. Diese Begriffe und Methoden werden dann angewandt zur Bestimmung von Ausgleichsparabeln und zur harmonischen Analyse. Der letzte Abschnitt bringt schließlich eine einfache, rein algebraische Theorie orthogonaler Polynome mit ihren wichtigsten Eigenschaften und einigen Beispielen.