Eigenwertaufgaben bei Matrizen

Zusammenfassung

Für die numerische Bestimmung von Eigenwerten und zugehörigen Eigenvektoren von Matrizen gibt es keinen Algorithmus, der nach endlich vielen Schritten die gesuchte Lösung liefert. Man kennt jedoch eine große Zahl verschiedener Methoden zur näherungsweisen Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren. Wir müssen uns hier auf einige wichtige Verfahren beschränken. Als erstes behandeln wir die Potenzmethode oder das v.-Mises-Verfahren für Matrizen, die symmetrische Abbildungen in K ⁿ mit einem geeigneten Skalarprodukt definieren. Dieses Verfahren kann man auch als Methode der sukzessiven Approximation auffassen, und als Modifikationen hat man dazu die inverse Iteration und die gebrochene Iteration nach Wielandt. Weiter behandeln wir das Jacobi-Verfahren für symmetrische Matrizen bzw. Abbildungen, das durch sukzessive Anwendung von Ähnlichkeitstransformationen mit geeigneten Rotationen die gegebenene Matrix näherungsweise auf Diagonalgestalt bringt. Schließlich behandeln wir mit dem Verfahren der iterierten Vektoren von Krylow und der Lanczos-Orthogonalisierung einen endlichen Algorithmus zur Bestimmung von Teilern des charakteristischen Polynoms und zur Reduktion einer Matrix auf Tridiagonalgestalt. Für die Bestimmung von Eigenwerten symmetrischer Matrizen aus dem charakteristischen Polynom erhält man dabei in Gestalt von Rekursionsformeln das starke Hilfsmittel der Sturmschen Ketten. Im letzten Abschnittt werden Einschließungssätze für Eigenwerte und Eigenvektoren symmetrischer Abbildungen in K ⁿ hergeleitet, die mit der Norm des Defekts bei der Einsetzprobe a-posteriori-Fehlerschranken für Eigenwert- und Eigenvektornäherungen ergeben.