Zusammenfassung
Gegenstand des vorhergehenden Abschnitts 2 war die Darstellung der Portfolio-analyse gemäß dem µ-σ-Prinzip. Danach beurteilt ein Investor Portfolios anhand ihrer jeweiligen erwarteten Rendite µp und der zugehörigen Standardabweichung der Rendite σp. Zur Durchführung der Portfolioauswahl auf der Grundlage des µ-σ-Prinzips sind die folgenden. Schritte notwendig: Erstens werden die Erwartungswerte µp und Standardabweichungen σp der Renditen aller Portfolios berechnet. Zweitens wird aus den gewonnenen Daten die Menge aller µ-σ-effizienten Portfolios bestimmt. Drittens wird aus dieser Menge das gemäß den individuellen Präferenzen optimale Portfolio ausgewählt. Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit der Vereinfachung der ersten beiden Schritte. Da auch bei Existenz einer risikolosen Anlage- und Verschuldungsmöglichkeit zur Herleitung der Menge µ-σ-effizienter Portfolios die Bestimmung des optimalen riskanten Tangentialportfolios ausreichend ist, kann sich die folgende Analyse in jedem Fall auf die Betrachtung der riskanten Wertpapiere beschränken. Erst im dritten Schritt und bei Zugang zu einer risikolosen Anlage- und Verschuldungsmöglichkeit wäre diese zusätzlich explizit zu berücksichtigen.
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Literatur
Bei der Darstellung der Renditevarianz eines Portfolios wurde ausgenutzt, daß ai; =a; ist. Formel (2.11) kann daher in zwei Komponenten, bestehend aus einer Summe über alle Varianzen und einer Summe über alle Kovarianzen, geschrieben werden.
Vgl. Sharpe (1963), S. 281, und Markowitz (1959), S. 97.
Zu nennen sind neben dem Single-Index-oder Marktmodell von Sharpe (1963) insbesondere das Modell mit konstanten Korrelationen von Elton/Gruber (1970) und das Multi-Index-Modell von Cohen1Pogue(1967).
In der Literatur finden sich hierfür auch noch andere Bezeichnungen. Sharpe (1963) selbst etwa spricht vom Diagonalmodell.
Vgl. Schuhmacher (1998b).
Die Fähigkeit, einen Faktor zu identifizieren, der am besten die Varianz-Kovarianz-Matrix approximiert, ist zentral für die Anwendung des Single-Index-Modells. Vgl. dazu Chan/Karceski/Lakonishok (1998).
Vgl. Bruns/Meyer-Bullerdiek (1996), S. 55 f, Steiner/Bruns (1995), S. 58 f., oder Uhlir/Steiner (1994). S. 170 ff.
Aufgrund der Ungewißheit der Störtermausprägung besteht zwischen ri und rM letzten Endes nur ein stochastischer Zusammenhang.
Vgl. ReißlMühlbradt (1979), S. 56, und Hielscher/Heintzelmann (1975), S. 21 ff.
Vgl. den Anhang zu diesem Abschnitt.
Vgl. etwa EltonlGruber (1995), S. 138 ff.
Die folgende Schätzung der relevanten Parameter ist nur unter den in Fußnote 18 des Abschnitts 2 genannten Prämissen zulässig. Es wird daher von der Unabhängigkeit und der Identität der Wahrscheinlichkeitsverteilungen (im Zeitablauf) ausgegangen.
Man beachte, daß genaugenommen die e; in Tabelle 3.4 durch das Einsetzen von Schätzgrößen selbst nur noch Approximationen der tatsächlichen Störtermausprägungen beschreiben.
Vgl. Fußnote 14.
Aus Übersichtlichkeitsgründen wird auf die Kennzeichnung von Cov •,• mit verzichtet.
Vgl. Fußnote 14.
Zur Vereinfachung werden die Argumente von L, nämlich xi,…, x„ und X, im weiteren nicht explizit aufgeführt
Vgl. auch Fußnote 21.
Abbildung 3.2 stellt nur eine Annäherung an die in dem hier betrachteten Fall tatsächlich erreichbaren µ-a-Kombinationen dar, die für die Beschreibung des folgenden Verfahrens allerdings unerheblich ist. Legt man nämlich gemäß (3.24) die Approximation up = G3p•aM zur Ermittlung der Standardabweichung der Rendite zugrunde, so folgt aus der Linearität von βp in xi die Linearität von up in xi. Wie sich leicht zeigen läßt, impliziert dies wiederum einen stückweise linearen Verlauf der Minimumvarianzlinie. Auf die hieraus resultierenden Konsequenzen für die Menge effizienter Portfolios wird noch einzugehen sein.
Wie schon im Abschnitt 2 angemerkt wurde, setzt sich die Menge µ-a-effizienter Portfolios nach oben fort.
Wie die beiden Zahlenbeispiele demonstrieren, determiniert ein gegebener Wert für. die zugehörige erwartete Rendite µP und damit auch den adäquat vorzugebenden Wert für µ. Die Menge µ-a-effizienter Portfolios läßt sich sowohl über Variation von p. als auch durch Veränderung von k bestimmen. Für den in diesem Abschnitt betrachteten Fall erweist es sich als zweckmäßig, die p.-a-effizienten Portfolios für variierendes. zu ermitteln.
Es gilt demnach m = 4. Natürlich ist ein derartiger Wert für praktische Anwendungen des hier behandelten Näherungsverfahrens zweifellos zu gering. Für die Präsentation der grundsätzlichen Vorgehensweise im Rahmen dieser Approximation ist dies allerdings unerheblich.
Die Werte für X sind so gewählt, daß durch Linearkombinationen der durch Tabelle 3.6 determinierten Portfolios alle p.-a-effizienten Portfolios ermittelt werden können. Das heißt, die Berechnung von Çi (i = 1,…, 8) für weitere X-Werte ist natürlich möglich, die daraus resultierenden Portfolios werden aber den durch Tabelle 3.6 festgelegten oder ihren Linearkombinationen entsprechen. Dieses Resultat folgt aus der abschnittsweisen Linearität der Minimumvarianzlinie. Das heißt, die µ-a-Kombinationen der resultierenden Portfolios stellen die „Eckpunkte“ der abschnittsweisen linearen Minimumvarianzlinie dar. Vgl. Fußnote 19. Gleiches gilt für die folgende Berechnung im Beispiel 3.4.
Alle Zahlen stellen gerundete Werte dar.
Vgl. Elton/Gruber/Padberg (1978, 1977, 1976).
Es ist zu beachten, daß Formel (3.42) - ebenso wie schon (3.41) - auf einer Näherung des Regressionskoeffizienten ß,p. unter partieller Vernachlässigung des unsystematischen Risikos beruht. Die folgende, auf dieser Formel basierende Intuition ist daher nicht ganz korrekt und eine unreflektierte Anwendung somit nicht ungefährlich, weil bei exakter Ermittlung des Regressionskoeffizienten gemäß (A3.25) des Anhangs zu diesem Abschnitt die linke Seite der Ungleichung (3.42) der rechten entspricht. Im Abschnitt 3 des Kapitels III wird noch unter recht allgemeinen Annahmen erläutert, daß diese Bedingung im Optimum - auch ohne die einschränkenden Annahmen des Marktmodells - für alle Wertpapiere mit Gleichheit erfüllt ist und (bei Vorliegen eines Kapitalmarktgleichgewichts) als Wertpapiermarktlinie bezeichnet wird.
Zu beachten ist, daß auch in (3.43) genaugenommen nur ein Näherungswert für den tatsächlichen Regressionskoeffizienten p;p. verwendet wird.
Ein ähnliches Beispiel wird in Elton/Gruber (1995), S. 183 ff., behandelt.
Die Werte für Çi wurden anhand der korrekten Zahlen und nicht anhand der gerundeten Werte ermittelt. Gleiches gilt für alle folgenden Berechnungen.
Die Zahlen stellen gerundete Werte dar.
Überdies ist es kein Zufall, daß der Wert für km an der Stelle m = 3 maximal ist Man kann allgemein zeigen, daß der optimale Wert k* stets maximal ist.
Die positiven Zahlen stellen gerundete Werte dar.
Die positiven Zahlen stellen gerundete Werte dar.
Die beiden Zahlen wurden anhand der exakten Werte des betreffenden Portfolios ermittelt. Berechnet man die Standardabweichung der Rendite auf der Basis des Single-Index-Modells, so erhält man einen Wert von etwa ap. = 10,7%.
Trotzdem ist die Approximationsgüte des Single-Index-Modells im Rahmen dieses Beispiels als recht hoch einzustufen. Bei einer vorgegebenen erwarteten Rendite von 15,62% wäre bei tatsächlichem Optimalverhalten eine Standardabweichung der Rendite von ap 10,50% und bei gegebener Renditestandardabweichung von 10,57% eine erwartete Rendite von µp 15,70% realisierbar.
Vgl. hierzu etwa Hamerle/Rösch (1998) oder King (1966).\
Der Quotient up/ erscheint deshalb in der Formel, weil im Rahmen der Herleitung von (A3.14) die Multiplikation mit up und die Division durch o. durchgeführt wurde.
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Breuer, W., Gürtler, M., Schuhmacher, F. (1999). Das Single-Index- oder Marktmodell. In: Portfoliomanagement. Gabler Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-11111-5_4
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Publisher Name: Gabler Verlag, Wiesbaden
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