Bewegungen

Zusammenfassung

Außer ι, den Geraden- und den Punktspiegelungen gibt es in der Bewegungsgruppe einer euklidischen Ebene noch weitere Bewegungen. Zum Beispiel ergibt die Hintereinanderausführung der Spiegelungen an zwei verschiedenen und nicht senkrechten Geraden eine Bewegung, die ≠ ι und nicht involutorisch ist (Abschn. 2.6, Satz 3 Inzidenz und Orthogonalität in der Bewegungsgruppe). Aber bevor wir weitere Typen von Bewegungen betrachten, wollen wir zunächst den Rahmen abstecken und uns fragen, ob wir auf diese Weise überhaupt zu einem befriedigenden Ende gelangen können. — Was kann man außer der Betrachtung einzelner Bewegungen tun, um die Bewegungsgruppe besser zu überblicken? Die natürlichen Zahlen sind uns vertraut. Sicher weil wir von klein auf lernen, mit ihnen umzugehen. Vielleicht aber auch, weil sie so einfach aufgebaut sind: Wenn man immer nur um 1 weiterzählt, so erreicht man jede natürliche Zahl; oder anders gesagt: Jede natürliche Zahl läßt sich (eindeutig) als Summe von lauter Einsen darstellen. In bezug auf multiplikative Zerlegungen ist das Problem etwas schwieriger, aber wir kennen den Satz von der Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen: Die Primzahlen sind die Bausteine der natürlichen Zahlen in bezug auf die Multiplikation, oder: Jede natürliche Zahl läßt sich (eindeutig) als Produkt von lauter Primzahlen darstellen. Viele Sätze über natürliche Zahlen lassen sich mit diesen „Darstellungssätzen“ beweisen.