Zusammenfassung
Inhalt dieses Paragraphen bildet die Herleitung der zwei Hauptsätze der Erneuerungstheorie, des Blackwellschen Erneuerungstheorems und seiner Integralversion, die in der englischsprachigen Literatur zumeist als Key Renewal Theorem bezeichnet wird. Da die deutsche Übersetzung dieser Bezeichnung etwas merkwürdig klingt, nennen wir das Ergebnis im folgenden schlicht das 2. Erneuerungstheorem. Die Herleitung des Blackwellschen Erneuerungstheorems bedarf einer Reihe von Vorbereitungen und ist keineswegs trivial. Der hier vorgestellte Beweis ist rein probabilistischer Natur und benutzt als wichtigstes Hilfsmittel die in jüngerer Zeit zu großer Bedeutung gelangte Koppelungsmethode. Einen älteren Beweis mit Hilfe fourieranalytischer Argumente geben wir in 13.1.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Preview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Literaturhinweise
Doeblin, W.: Exposé de la théorie des chaines simples constantes de Markov it un nombre fini d’états. Rev. Math. de l’Union Interbalkanique, 2, 77–105 (1937).
Pitman, J.: Uniform rates of convergence for Markov chain transition probabilities. Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 29, 193–227 (1974).
Griffeath, D.: A maximal coupling for Markov chains. Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 31, 95–106 (1975).
Lindvall, T.: A probabilistic proof of Blackwell’s renewal theorem. Ann. Probab., 5, 482–485 (1977).
Lindvall, T.: On coupling of discrete renewal processes. Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 48, 57–70 (1979).
Lindvall, T.: On coupling of continuous-time renewal processes. J. Appl. Probab., 19, 82–89 (1982).
Lindvall, T.: On coupling of renewal processes with use of failure rates. Stoch. Proc. Appl., 22, 1–15 (1986).
Athreya, K.B., McDonald, D. and Ney, P.: Limit theorems for semi-Markov processes and renewal theory for Markov chains. Ann. Probab., 6, 788–797 (1978a).
Athreya, K.B., McDonald, D. and Ney, P.: Coupling and the renewal theorem. Amer. Math. Monthly, 85, 809–814 (1978b).
Berbee, H.: Random Walks with Stationary Increments and Renewal Theory. Math. Centrum Tract, 112, Amsterdam (1979).
Ney, P.: A refinement of the coupling method in renewal theory. Stoch. Proc. Appl., 11, 11–26 (1981).
Thorisson, H.: A complete proof of Blackwell’s renewal theorem. Stoch. Proc. Appl., 26, 87–97 (1987).
Asmussen, S.: Applied Probability and Queues. Wiley, New York (1987).
Kolmogorov, A.: Anfangsgründe der Theorie der Markoffschen Ketten mit unendlich vielen möglichen Zuständen. Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S., 1, 607–610 (1936).
Doob, J.L.: Renewal theory from the point of view of the theory of probability. Trans. Amer. Math. Soc., 63, 422–438 (1948).
Erdös, P., Feller, W. and Pollard, H.: A theorem on power series. Bull. Amer. Math. Soc., 55, 201–204 (1949).
Blackwell, D.: A renewal theorem. Duke Math. J., 15, 145–150 (1948).
Chung, K.L. und Wolfowitz, J.: On a limit theorem in renewal theory. Ann. Math., 55, 1–6 (1952).
Chung, K.L. and Pollard, H.: An extension of renewal theory. Proc. Amer. Math. Soc., 3, 303–309 (1952).
Blackwell, D.: Extension of a renewal theorem. Pacific J. Math., 3, 315–320 (1953).
Smith, W.L.: Asymptotic renewal theorems. Proc. Roy. Soc. Edinb., A64, 9–48 (1954).
Smith, W.L.: Renewal theory and its ramifications. J. Roy. Statist. Soc., B20, 243–302 (1958).
Feller, W.: An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Vol.2, 2. Auflage Wiley, New York (1971).
Athreya, K.B., McDonald, D. and Ney, P.: Limit theorems for semi-Markov processes and renewal theory for Markov chains. Ann. Probab., 6, 788–797 (1978a).
Stone, C.: On absolutely continuous distributions and renewal theory. Ann. Math. Statist., 37, 271–275 (1966).
Arjas, E., Nummelin, E. und Tweedie, R.: Uniform limit theorems for non-singular renewal and Markov renewal processes. J. Appl. Probab., 15, 112–125 (1978).
Smith, W.L.: Regenerative stochastic processes. Proc. Roy. Soc. London, A232, 6–31 (1955a).
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
Copyright information
© 1991 Springer Fachmedien Wiesbaden
About this chapter
Cite this chapter
Alsmeyer, G. (1991). Die Hauptsätze der Erneuerungstheorie. In: Erneuerungstheorie. Teubner Skripten zur Mathematischen Stochastik. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-09977-2_3
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-663-09977-2_3
Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden
Print ISBN: 978-3-519-02730-0
Online ISBN: 978-3-663-09977-2
eBook Packages: Springer Book Archive