Einführung

Zusammenfassung

Ausgangspunkt der Erneuerungstheorie bildet die Beobachtung, daß vielen stochastischen Prozessen (W _t ) _t∈T , T = ℕ ₀ oder [0, ∞), ein Regenerations- oder Erneuerungsschema innewohnt, welches wie folgt beschrieben werden kann: Für eine aufsteigende, gegen unendlich strebende Folge ν ₁, ν ₂, ... von möglicherweise zufälligen Zeiten sind entweder ${({W_t})_{{\nu _k} \leqslant t < {\nu _{k + 1}}}}$, k ≥ 1 (Typ I) oder ${({W_t} - {W_{{\nu _k}}})_{{\nu _k} \leqslant t < {\nu _{k + 1}}}}$, k ≥ 1 (Typ II) stochastisch unabhängige, identisch verteilte (u.i.v.) Zufallsvariablen, die wir als Zyklen bezeichnen wollen. Die anschauliche Interpretation ist offensichtlich, daß solche Prozesse, gegebenenfalls nach einer Rückverschiebung in den Nullpunkt (Typ II), zu den Zeitpunkten ν ₁, ν ₂, ... neu gestartet werden, oder, um der obigen Namensgebung Rechnung zu tragen, sich dort regenerieren. Bezeichnet W _t beispielsweise die Anzahl der vor einem Bedienungsschalter wartenden Kunden zum Zeitpunkt t ∈ [0, ∞), so erhält man (unter geeigneten Modellannahmen) ein Regenerationsschema vom Typ I mit Hilfe der sukzessiven Zeitpunkte, zu denen Kunden das Bedienungssystem betreten und einen leeren Schalter vorfinden. Beschreibt (W _n ) _n≥0 die Irrfahrt eines Teilchens, welches, in irgendeinem Punkt z ∈ ℤ startend, zu jedem Zeitpunkt n ∈ ℕ mit Wahrscheinlichkeit 1/2 um 1 nach rechts oder links springt, so kann man zeigen (siehe Beispiel 6.1.3), daß dieses Teilchen jeden Punkt x ∈ ℤ unendlich oft durchläuft, so daß z.B. das sukzessive Erreichen des Zustands 0 den jeweiligen Beginn eines neuen Zyklus’ definiert, wobei wiederum ein Regenerationsschema vom Typ I vorliegt. Sei schließlich (W _t ) _t≥0 eine Brownsche Bewegung auf ℝ mit positiver Drift θ, d.h. (W _t ) _t≥0 ist ein Markov-Prozeß mit stationären, unabhängigen und normalverteilten Zuwächsen, stetigen Pfaden, W ₀ = 0, EW _t = θt sowie Var W _t = ρ ² t für ein ρ > 0. In diesem Fall erhält man ein Regenerationschema vom Typ II mit Hilfe der sukzessiven Zeiten, zu denen der Prozeß die Gerade θt schneidet.