Zusammenfassung
Zentralität und Prestige sind netzwerkanalytische Konzepte, die nach der Wichtigkeit, öffentlichen Sichtbarkeit oder „Prominenz“ von Akteuren in Netzwerken fragen. Knoke und Burt (1983) unterscheiden zwei Bedeutungsinhalte von Prominenz. Konzepte der Zentralität von Akteuren gehen davon aus, daß derjenige Akteur prominent im Netzwerk ist, der an vielen Beziehungen im Netzwerk beteiligt und deshalb „sichtbar“ ist. Dahinter steht die Annahme, daß solche prominenten Akteure Zugang zu Netzwerkressourcen, Kontrollmöglichkeiten und Informationen haben. Zentralitätskonzepte setzten lediglich ungerichtete Beziehungen voraus und sind ursprünglich für diese entwickelt worden.26
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Literatur
Die Zentralität von Akteuren im Sinne ihrer Beteiligung an den Aktivitäten läßt sich aber auch in Netzwerken mit gerichteten asymmetrischen Beziehungen berechnen. Grundlage sind dann die vom Akteur ausgehenden Beziehungen, also die jeweiligen Zeilen der Soziomatrix.
Der Kehrwert einer Zahl x ist 1/x. Die Anweisung, den Kehrwert zu nehmen, kann man auch durch die Potenz (-1) darstellen. Die Zahl x ~ entspricht also 1/x.
Die in der Betweenness-Zentralität von C zählenden 18 Pärchen sind: (A B), (A D), (A E), (B D), (B E), (D E), (A F), (A G), (A I), (A H), (B F), (B G), (B I), (B H), (D F), (D G), (D I), (D H).
Das sind folgende 16 Pärchen: (A F), (A G), (A I), (A H), (B F), (B G), (B I), (B H) (D F), (D G), (D I), (D H), (C F), (C G), (C I), (C H).
Es gibt 72 geordnete Akteurpärchen bei einer Netzwerkgröße von 9, nämlich n(n1)=9–8=72. Da die Betweenness-Zentralität ein Maß für ungerichtete Graphen ist, ist diese Zahl durch 2 zu dividieren, um die Zahl der ungeordneten Paare zu erhalten.
Man zieht auf beiden Seiten der Gleichung X’*p ab. Dann erhält man auf der rechten Seite Null. Links ergibt sich (p - X’*p). Nun kann man p ausklammern unter Nutzung des neutralen Elementes, also der Identitätsmatrix I. Wenn man die linke Seite von Gleichung (6.24) ausmultipliert, so erhält man die obige Differenz wieder: l*p, das ist p, abzüglich X’*p.
Die Lösung eines solchen Eigensystems erfordert die Berechnung eines Polynoms n-ter Ordnung. Jeweils für den Wert p. eines wählenden Akteurs müssen seine eingehenden Wahlen und die Prestigewerte seiner Wähler eingesetzt werden, und das n Schritte zurück. Man gelangt also bis zu x. Für n ?5 gibt es für dieses Problem keine allgemeinen Lösungen mehr, wie z.B. noch für quadratische Gleichungen. Die Struktur des infiniten Regresses und das Polynom n-ter Ordnung läßt sich gut aus der Formulierung des Problems bei Hubbell (1965) erkennen. Hubbell suchte ausgehend von Gleichung (6.22) nach einer Möglichkeit, sozialen Status zu berechnen. Was er als Status s bezeichnet, wird in der Netzwerkanalyse als Prestige definiert. Er addierte allerdings für jeden Akteur — außer dem intern durch die Wahlen der anderen Akteure akkumulierten Status — eine Konstante e. In Matrixnotation ergibt sich s = e + R*s. R ist die transponierte und normierte Soziomatrix. Die Konstante e setzte Hubbell für jeden Akteur auf den Wert 1. Der Vektor e ist dann ein Spaltenvektor mit lauter Einsen. Folgende Umformung der Ausgangsgleichung zeigt, daß die Netzwerkwege immer weiter rückwärts verfolgt werden: s = (I + R + R2 + R +..+ R°°)*e. Da R reihenstochastisch ist, also Elemente zwischen 0 und 1 aufweist, konvergiert die Summe gegen einen festen Wert. Der Status eines Akteurs wird als gewichtete Summe aller Pfade von allen Netzwerkmitgliedern zum betrachteten Akteur berechnet.
Wie man eine Unterteilung des Netzwerkes in strukturell äquivalente Gruppen vornimmt, ist Gegenstand von Kapitel 8.2.
Ober die Möglichkeiten, primäre und sekundäre Statustypen über mehrere Netzwerke zu berechnen, kann man sich bei Burt 1982: 51–53 informieren.
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Jansen, D. (1999). Zentralität und Prestige in Netzwerken. In: Einführung in die Netzwerkanalyse. VS Verlag für Sozialwissenschaften, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-09873-7_6
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