Zusammenfassung
In diesem Abschnitt wird die Bewertung von Geldmarktfloatern mit fixer Zinsbindung eingehend behandelt. Zuerst wird anhand der einfachsten Ausstattungsform, eines perfekt indizierten Floaters, die Grundidee des Bewertungsmodells gezeigt. Dabei wird zunächst die arbitragefreie Bewertung mittels rekursiver Duplikation diskutiert. Als Alternative dazu wird in einem zweiten Schritt dann die allgemeine Bewertungstheorie für Finanztitel unter Verwendung des risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaßes angewendet. Aufbauend auf diesem Grundmodell wird dann in einem eigenen Kapitel die Bewertung von Geldmarktswaps ausführlich beschrieben. In den folgenden Kapiteln werden dann der Einfluß zusätzlicher Ausstattungsmerkmale (Margin, Rundung, in-arrears Zinsanpassung, Durchschnitts-Zinsanpassung), die Bewertung von mit Geldmarktfloatern verbundenen Optionsrechten (Caps, Floors, Kündigungsrechte, Swaptions) und Fragen des mit Geldmarktfloatern verbundenen Risikomanagements (Duration, Value-at-Risk) diskutiert.
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Literatur
Aus der Eigenschaft der regulären Zinsanpassung folgt, daß jeder Kupontermin auch automatisch ein Anpassungstermin ist.
Es wird in dieser Arbeit durchwegs davon ausgegangen, daß das zu bewertende Instrument in einem perfekten und vollständigen Markt für Zinstitel in stetiger Zeit gehandelt werden kann. Aus dieser Annahme folgt auch die Existenz einer eindeutigen Zinsstruktur und damit auch der Diskontierungsfaktoren (vgl. Pichler (1995)).
Diese Vorgangsweise setzt voraus, daß alle Zeitangaben in der gleichen Maßeinheit gemessen werden, also zB in Jahren.
Diese allgemeine Beziehung gilt für beliebige Floater.
Zu den theoretischen Grundlagen der Bewertung unter dem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß vgl. u.a. Duffie (1996) oder Musiela und Rutkowski (1997b).
Die Short Rate ist als Spot Rate für eine infinitesimale Fristigkeit definiert. Das bedeutet, die Short Rate entspricht dem Zuwachs eines kontinuierlich verzinsten Geldmarktdepots über den nächsten infinitesimalen Zeitraum. Für eine formale Darstellung dieser Definition vgl. u.a. Vasicek (1977) oder Duffie (1996).
Wesentlich interessanter als die Bewertung während der Laufzeit scheint in bezug auf Swaps das Pricing zu Beginn des Vertrages zu sein. In der Regel wird die Austauschvereinbarung in der Form abgeschlossen, daß die Barwerte der beiden Seiten des Swaps exakt übereinstimmen. Es gibt keine Upfront-Payments. Nach den gängigen Marktusancen ist die Ausstattung des Floating Leg stets fix vorgegeben. Folgende Ausstattungsmerkmale müssen fixiert sein: (i) Referenzzinssatz, (ii) zeitliche Zuordnung der Zinsanpassung, (iii) Länge der Kuponperioden, (iv) Laufzeit des Swaps, (v) Margin und (vi) andere Merkmale wie Caps, Floors, Rundungsklauseln. Ist einmal die konkrete Ausstattung des Floating Leg fixiert, wird dann genau jene Ausstattung des Fixed Leg ermittelt, die zu einem mit dem Floating Leg übereinstimmenden Barwert führt. Nachdem der Fixed Leg die gleiche Laufzeit aufweisen muß wie der Floating Leg, steht nur mehr ein einziges Ausstattungsmerkmal zur Disposition, um die Äquivalenz der Barwerte herzustellen: der Kupon des Fixed Leg.
Das gilt nur bei übereinstimmender Kuponfrequenz. Im Falle einer nicht übereinstimmenden Kuponfrequenz müßten die Marginzahlungen entsprechend in der Bewertung berücksichtigt werden.
Allerdings muß beachtet werden, daß bei Analysen, die auch das Bonitätsrisiko mitberücksichtigen, diese Vorgangsweise unzulässig ist.
Um die Notation zu vereinfachen wurde der Zeitindex t bei der Notation der Matrizen unterdrückt.
Eine Diskussion des Begriffs ‘Vollständigkeit’ und der damit zusammenhängenden Bedingungen für die Lösung des Gleichungssystems (17) findet sich u.a. in Wilhelm und Brüning (1992) und Pichler (1995).
Vereinfachend wird von ganzjährigen Kuponperioden ausgegangen.
Die Margin soll unter anderem auch dazu dienen, daß variabel verzinste Zahlungsströme mit unterschiedlicher Rückzahlungswahrscheinlichkeit immer al pari begeben werden können.
Alle anderen zinsvariablen Instrumente lassen sich nicht als Portefeuilles aus Zerobonds darstellen. Das gilt zunächst für alle Instrumente mit Optionsrechten, wie Swaptions, Caps und Floors. Aber auch In-arrears Floater lassen sich nicht auf diese einfache Weise zerlegen. Bei der VaR-Berechnung für diese Instrumente stehen drei grundlegende Möglichkeiten offen. Die erste
vgl. Aussenegg und Uhlir (1997). Eine Diskussion verschiedener Ansätze findet sich in Wittrock und Jansen (1996) sowie Schaller (1998).
Auf numerische Methoden zur VaR-Ermittlung (Monte Carlo Simulation, Historische Simulation) wird hier nicht gesondert eingegangen, weil diese Modelle in jedem Fall in jedem Simulationsschritt eine Neubewertung aller Instrumente bedingen. Damit entsteht keine VaR-spezifische Problemstellung, sondern es ist ausreichend, alle Instrumente über die Zinsstruktur bewerten zu können.
vgl. dazu u.a. Miltersen, Sandmann und Sondermann (1997), Jamshidian (1996b,1997), Musiela und Rutkowski (1997ab) sowie Brace, Gatarek und Musiela (1997). Eine Anwendung des Forward Measure zur Bewertung von Caps und Floors in-arrears findet sich in Zhao und Tavella (1998).
Selbstverständlich gilt s(T-h) = f(T-h,T-h, T).
Vgl. u.a. Hull (1997).
Vgl. allgemein zum Thema Hauptkomponentenanalyse Basilevski (1994) und für die spezielle Anwendung auf Rentenmärkten Litterman und Scheinkman (1991).
Jamshidian (1996b) zeigt explizit, daß bei Anwendung geeigneter Systeme von Wahrscheinlichkeitsmaßen sowohl für Forward Rates verschiedener Laufzeiten für die Bewertung von Caplets als auch für Swap Rates verschiedener Laufzeiten für die Bewertung von Swaptions (siehe Kapitel 2.4.2) die Annahme einer Lognormalverteilung zulässig ist. Er zeigt aber auch, daß die Annahme der Lognormalverteilung für alle Forward Rates und alle Swap Rates gleichzeitig unzulässig ist.
Für dieses Modell wird in weiterer Folge das Synonym HJM verwendet. Für dieses Modell wird in weiterer Folge das Synonym VHW verwendet.
Eine Übersicht und eine Diskussion der verschiedenen Ansätze zur Schätzung der Parameter der Faktorprozesse findet sich u.a. in Geyer und Pichler (1997). Realisationen für die Short Rate nicht ausgeschlossen, aber bei `üblichen’ Parameterwerten relativ unwahrscheinlich. (ii) Die Short Rate hat die Eigenschaft der Mean Reversion, dh es besteht die Tendenz, daß die Short Rate sich zu einem vorgegebenen langfristigen Mittelwert B bewegt. Der Parameter x gibt die Stärke der Mean Reversion an. (iii) Die gesamte Zinsstruktur hängt nur von der Realisation einer einzigen stochastischen Größe - der Short Rate - ab. Alle Diskontierungsfaktoren sind daher perfekt (lokal) korreliert.
Diese Kritik am VHW-Modell veranlaßte u.a. auch CIR (1985) für die Short Rate einen Square-RootProzeß zu spezifizieren, der negative Realisationen ausschließt. Dieser Prozeß impliziert allerdings keine normalverteilten, sondern nicht-zentral X2-verteilte Veränderungen. Der Vorteil einer etwas realitätsnäheren Prozeßspezifikation wird daher möglicherweise durch erhöhte rechentechnische Schwierigkeiten (etwa bei Monte Carlo Simulationen) aufgewogen. Empirische Untersuchungen ergeben im großen und ganzen keine besonderen Vorteile eines der beiden Ansätze (vgl. u.a. Chan, et. al. (1992)).
Im Prinzip können alle Parameter zeitabhängig definiert werden (vgl. Hull und White (1990), Jamshidian (1995) bzw Duffie (1996)). Ein zeitabhängiges a, erlaubt darüber hinaus eine exakte Übereinstimmung der sich aus dem Modell ergebenden Volatilitätsstruktur mit der empirisch zu beobachtenden Volatilitätsstruktur.
Eine weitere wesentliche Erweiterung besteht auch in der Anwendung von Mehr-Faktor-Modellen. Für Mehr-Faktor-Erweiterungen des VHW- und des CIR-Modells vgl. u.a. Duffie (1996), Hull und White (1994b) sowie Heitmann und Trautmann (1995).
Vgl. Duffie (1996).
Eine ausführliche Diskussion der Begriffe zeit-homogen und zeit-inhomogen in Zusammenhang mit affinen Zinsstrukturmodellen findet sich in Rebonato (1996).
Der Begriff `Annuitätenfaktor’ für H o (t,N) wurde aus der englischsprachigen Literatur übernommen. Im deutschsprachigen Raum versteht man unter Annuitätenfaktor genau den Kehrwert von Hdt,N). Die korrekte Bezeichnung von HJt,N) ist dann `Rentenbarwertfaktor’.
Vgl. die in Tabelle 2.8 dargestellten Zusammenhänge.
Gandhi, Hunt und Lunt (1996) verwenden den Begriff Swaption Measure, während Jamshidian (1996b) dieses Maß mit Forward Swap Measure bezeichnet. In diesen Arbeiten findet sich auch eine gute Einführung in die Thematik; vgl dazu u.a. auch Neuberger (1990), Jamshidian (1996c) und Brace (1996).Im Prinzip auf alle Prozesse mit beschränkter quadratischer Variation. Vgl. dazu Jamshidian (1997), Gandhi, Hunt und Lunt (1996), Brace, Gatarek und Musiela (1996) sowie Miltersen, Sandmann und Sondermann (1997).
Das einfacste Modell dieser Klasse ist der Ansatz von Black, Derman und Toy (1990). Der dort vorgeschlagene Binomialbaum muß erst durch eine nichtlineare Optimierungsprozedur an die beobachtbaren Marktdaten angepaßt werden.
vgl. dazu die Diskussion in Kapitel 2.4.1.
Die Methode von Jamshidian läßt sich nur auf Europäische Optionen anwenden. Dazu gehören Anleihen mit einem einmaligen Kündigungsrecht. Anleihen mit mehreren Kündigungsrechten (zB zu mehreren Kuponterminen) sind Bermudan Options und müssen mit einem dementsprechenden Modell bewertet werden.
Folgender Gedankengang führt zur Lösung des Problems: Ein Call (Put) auf eine Kuponanleihe wird genau dann ausgeübt, wenn der Preis des Bonds größer (kleiner) als der Ausübungspreis ist. In einem Einfaktor-Modell ist der Preis der Kuponanleihe eine monoton fallende Funktion der Short Rate. Das bedeutet, je größer die Short Rate ist, desto kleiner ist der Preis und umgekehrt. Daraus folgt, daß ein Call (Put) genau dann ausgeübt wird, wenn die Short Rate kleiner (größer) als ein kritischer Wert r ist. Die kritische Short Rate r’ ist genau jener Wert der Short Rate, für den der Wert des Underlyings am Verfalltag der Option genau gleich dem Ausübungspreis ist.
Eine Bond Option ist ein Bündel aus Optionen auf Zerobonds mit Laufzeit des Zerobonds bis zum jeweiligen Zahlungstermin und einem Ausübungspreis, der dem Wert dieses Zerobonds zum Verfalltag der Option bei Short Rate r’ entspricht. Die Bewertung der Einzeloptionen erfolgt dann mit der Formel für Zerobonds. Den Wert der Gesamtoption erhält man durch Summation der Einzelwerte.
Vgl. u.a. Duffie und Pan (1997), Jorion (1997), Uhlir und Aussenegg (1996) bzw Longerstaey (1996).
Vgl. Amtsblatt der Europäischen Gemeinschaft (1993).
Vgl. Basler Ausschuß für Bankenaufsicht (1996ab).
Vgl. Amtsblatt der Europäischen Gemeinschaft (1993) bzw Jackson, Maude und Perraudin (1997).
Vgl. Uhlir und Steiner (1993).
Eine ausführliche Diskussion über die Notwendigkeit des Einsatzes von Zinsstrukturmodellen findet sich in Rebonato (1996).
Eine populäre Weiterentwicklung dieses Ansatzes ist das von Ho (1992) vorgestellte Konzept der Key Rate Durations. Damit können zwar mehrere Bereiche der Zinskurve unabhängig voneinander modelliert werden, ein übergreifendes Risikomanagement wird dadurch aber auch nicht ermöglicht.
67 Vgl. Basler Ausschuß für Bankenaufsicht (1996ab).
Unter Back-Testing versteht man die regelmäßige Durchführung von Rückvergleichen, mit deren Hilfe die statistische Genauigkeit des verwendeten VaR-Modells überprüft werden soll. Formal gesehen findet dabei ein Test der Nullhypothese: H o : Anteil der Beobachtungen mit Verlusten größer als der VaR an der gesamten Anzahl der Beobachtungen = 1% statt.
Diese Vorgangsweise setzt eine Normalverteilung der Wertänderungen mit konstanter Varianz voraus. Die Skalierung ist trotzdem unabhängig von der tatsächlichen Verteilungsannahme zulässig. Zur diesbezüglichen
Aussenegg und Pichler (1997) zeigen in einer empirischen Studie für Zinstitel in drei Währungen (GBP, DEM und ATS), daß die Normalverteilungsannahme zu äußerst ungenauen VaR-Schätzungen führt. Die im Vergleich zu einer Normalverteilung stark erhöhte Anzahl von extremen Veränderungen (Fat Tails) führt zu einem in der Regel auch statistisch signifikant überhöhten Anteil an Tagen mit einem tatsächlichen Verlust, der über dem ermittelten VaR liegt.
Vgl. Huschens (1996).
Vgl. Geyer und Pichler (1998).
Standardstützpunkte als Risikofaktoren modelliert. Die Auswahl der Standardstützpunkte richtet sich in erster Linie nach der Verfügbarkeit verläßlicher Daten und umfaßt meistens folgende Laufzeiten: 1M, 3M, 6M, 1Y, 2Y,, 10Y, 15Y, 30Y. Einfache Zinstitel ohne Optionsrechte lassen sich in Zerobonds zerlegen, die dann den Standardstützpunkten zugeordnet werden müssen. Diese Zuordnung erfolgt meist nach dem Prinzip der Risikoerhaltung73, wodurch gewährleistet ist, daß der `künstliche’ Zahlungsstrom nach der Zuordnung das gleiche Risiko aufweist wie vor der Zuordnung. Die Marktwerte dieser Zerobondpositionen entsprechen dann genau den Deltaäquivalenten Sk in Formel (82). Sind die Volatilitäten der Risikofaktoren und deren Korrelationen untereinander bekannt, kann der VaR analytisch über (82) und (81) berechnet werden74.
Jeder perfekt indizierte Geldmarktfloater läßt sich als Zerobond mit Laufzeit bis zur nächsten Kuponzahlung darstellen. Das Nominale des Zerobonds ist gleich dem Nominale des Floaters zuzüglich des bereits am letzten Anpassungstermin fixierten laufenden Kupons. Ist der Floater zusätzlich noch mit einer Margin und/oder einer Rundungsklausel ausgestattet, sind auch die (um die Rundung bereinigten) Marginzahlungen als Zerobonds darzustellen. Auch für Reverse Floater gibt es keine Probleme, weil sich diese Instrumente (unter wahrscheinlich zulässiger Vernachlässigung des Floors) in eine Kaufposition in zwei Kuponanleihen und eine Verkaufposition in einem perfekt indizierten Geldmarktfloater zerlegen lassen.
Die Verteilung der Wertveränderungen des Portefeuilles ist unter Einbeziehung der Hess’schen Matrix in jedem Fall eine Verteilung der quadratischen Form von unabhängig verteilten Zufallsvariablen und unter der Annahme normalverteilter Risikofaktoren eine Linearkombination nicht-zentral x2-verteilter Zufallsvariablen. Zur Berechnung der Quantile für diese Verteilungen vgl. Mathai und Provost (1992).
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Pichler, S. (1999). Geldmarktfloater. In: Bewertung von Zahlungsströmen mit variabler Verzinsung. Gabler Edition Wissenschaft. Deutscher Universitätsverlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-09401-2_2
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