Kompensierte Kompaktheit

Zusammenfassung

Um die schwache Konvergenz von Bildfolgen und insbesondere die schwache Stetigkeit gewisser Folgen bei nicht-linearen Superpositionsoperatoren zu erhalten, gibt es zwei Vorgehensweisen. Die eine besteht darin, über Kompaktheitssätze, Satz von Arzela-Ascoli 8.1 sowie Satz von Kolmogoroff 8.2 oder kompakte Einbettungen von Funktionenräumen eine stark konvergente Teilfolge zu erhalten, deren Bildfolge wegen der starken Stetigkeit des Superpositionsoperators stark konvergiert. Wie wir im Abschnitt 7.3 gesehen hatten, entspricht dieses dem Fall Λ = {0}, d.h. einer sehr starken Einschränkung an die verwendeten Folgen. Die damit verbundenen Voraussetzungen sind oft nicht erfüllbar. Abschwächungen würden Umkehrungen der Aussagen des Satzes 7.11 darstellen, d.h. Resultate derart, daß man aus der Konvexität bzw. der affinen Linearität von Carathéodory-Funktionen in Richtungen aus Λ ⊆ ℝ^M auf schwache Unterhalbstetigkeit bzw. schwache Stetigkeit des Superpositions-operators schließen könnte. Beispiel 7.14 hat gezeigt, daß wir dieses allein unter den Voraussetzungen von Satz 7.11 nicht erwarten können.