Erhaltungsgleichungen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel kehren wir zu den Systemen von Differentialgleichungen erster Ordnung, die in Kapitel 2 betrachtet wurden, zurück. Für spezielle Gleichungen, die hyperbolischen Gleichungen in Erhaltungsform, führen wir verallgemeinerte Lösungsbegriffe ein, die unter anderem unstetige Lösungen zulassen. Es werden schwache und maßwertige Lösungen dieser Gleichungen eingeführt und diskutiert. Diese Ausweitung des Lösungsbegriffs führt zu Nicht-Eindeutigkeits-Problemen, zu deren Überwindung sogenannte „Entropiebedingungen“ betrachtet werden müssen. Zur Auswahl zulässiger Lösungen werden das Lax-Kriterium, Entropieungleichungen und die Viskositätsmethode diskutiert. Schließlich wird als zentrale Anwendung der erarbeiteten Methoden ein ausführlicher Beweis des Existenzsatzes von Tartar [118] für schwache Lösungen des Cauchy-Problems gegeben.