Der Restklassenring Z/mZ

Zusammenfassung

Bereits im Alltagsleben ist eine Klasseneinteilung der ganzen Zahlen geläufig, nämlich die Einteilung in gerade und ungerade Zahlen. Für diese Klassen hat man in natürlicher Weise eine Addition und Multiplikation, z.B. gerade + ungerade = ungerade, gerade · ungerade = gerade. Dies ist ein Spezialfall der sog. Restklassenbildung bzgl. einer ganzen Zahl m > 0. Zwei ganze Zahlen x, y gehören derselben „Restklasse modulo m“ an, falls sie bei ganzzahliger Division durch m denselben Rest lassen. (Für m = 2 erhält man die Klassen der geraden und ungeraden Zahlen.) Auf der Menge der Restklassen kann man in natürlicher Weise eine Addition und Multiplikation einführen und erhält einen Ring, der mit ℤ/mℤ bezeichnet wird und der genau m Elemente enthält. Die Primfaktor-Zerlegung von m spiegelt sich in der Struktur des Rings ℤ/mℤ wider, der entsprechend in ein Produkt von kleineren Ringen zerfällt.